ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $M\left(\frac{15\pi}{4}\right) = M\left(\frac{7\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{7\pi}{4}\right);$

б) $M\left(\frac{16\pi}{3}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3} + 4\pi\right) = M\left(\frac{4\pi}{3}\right);$

в) $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right) = M\left(8\pi — \frac{31\pi}{4}\right) = M\left(\frac{\pi}{4}\right);$

г) $M(-\frac{26\pi }{3})$

Найти декартовы координаты заданной точки.

а) $M\left(\frac{15\pi}{4}\right) = M\left(\frac{7\pi}{4} + 2\pi\right) = M\left(\frac{7\pi}{4}\right);$

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

б) $M\left(\frac{16\pi}{3}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3} + 4\pi\right) = M\left(\frac{4\pi}{3}\right);$

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

в) $M\left(-\frac{31\pi}{4}\right) = M\left(8\pi — \frac{31\pi}{4}\right) = M\left(\frac{\pi}{4}\right);$

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

г) $M\left(-\frac{26\pi}{3}\right) = M\left(10\pi — \frac{26\pi}{3}\right) = M\left(\frac{4\pi}{3}\right);$

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Точка $M(\theta)$ — это точка на единичной окружности (радиус $1$) с центральным углом $\theta$ в радианах, отсчитанным от оси $Ox$ против часовой стрелки.
Её декартовы координаты всегда

$$M(\theta)=(\cos\theta,\;\sin\theta).$$

Шаг 1. Приведение угла к основному промежутку

Синус и косинус имеют период $2\pi$:

$$\cos (\theta +2\pi k)=\cos \theta ,$$

$$\cos(\theta+2\pi k)=\cos\theta,\qquad \sin(\theta+2\pi k)=\sin\theta\quad (k\in\mathbb{Z}).$$

Поэтому любой угол удобно «нормализовать» в интервал $[0,2\pi)$, добавляя/вычитая кратные $2\pi$. Это не меняет координаты точки.

Шаг 2. Знаки по четвертям и опорные (референсные) углы

• В I четверти $(0,\;\pi/2)$: $\cos>0,\;\sin>0$.
• Во II $(\pi/2,\;\pi)$: $\cos<0,\;\sin>0$.
• В III $(\pi,\;3\pi/2)$: $\cos<0,\;\sin<0$.
• В IV $(3\pi/2,\;2\pi)$: $\cos>0,\;\sin<0$.

Полезные точные значения:

• Для $\displaystyle \frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Для $\displaystyle \frac{\pi}{3}$: $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\;\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Если угол $\theta$ попадает в другую четверть, берём тот же модуль «опорного» угла (например $\pi/4$ или $\pi/3$), а знаки ставим по четверти.

а) $M\!\left(\tfrac{15\pi}{4}\right)$

Приведение к $[0,2\pi)$

$$\frac{15\pi}{4} = \underbrace{\frac{8\pi}{4}}_{=2\pi}+\frac{7\pi}{4} =2\pi+\frac{7\pi}{4}.$$

Значит $M\!\left(\tfrac{15\pi}{4}\right)=M\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)$.

Четверть и опорный угол

$\displaystyle \frac{7\pi}{4}=2\pi-\frac{\pi}{4}$ — это IV четверть; опорный угол $\pi/4$.
В IV четверти: $\cos>0,\;\sin<0$.

Координаты

$$\cos \frac{7\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\cos\frac{7\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{4}=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2};\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

б) $M\!\left(\tfrac{16\pi}{3}\right)$

Приведение к $[0,2\pi)$

Поскольку $2\pi=\tfrac{6\pi}{3}$,

$$\frac{16\pi }{3}-2\pi =\frac{16\pi }{3}-\frac{6\pi }{3}=\frac{10\pi }{3},$$

$$\frac{16\pi}{3}-2\pi=\frac{16\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}, \quad \frac{10\pi}{3}-2\pi=\frac{10\pi}{3}-\frac{6\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

Значит $M\!\left(\tfrac{16\pi}{3}\right)=M\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)$.

Четверть и опорный угол

$\displaystyle \frac{4\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}$ — это III четверть; опорный угол $\pi/3$.
В III четверти: $\cos<0,\;\sin<0$.

Координаты

$$\cos \frac{4\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2},$$

$$\cos\frac{4\pi}{3}=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $\displaystyle \left(-\frac{1}{2};\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

в) $M\!\left(-\tfrac{31\pi}{4}\right)$

Приведение к $[0,2\pi)$

Добавим кратное $2\pi$. Удобно прибавить $8\pi=\tfrac{32\pi}{4}$:

$$-\frac{31\pi}{4}+8\pi =-\frac{31\pi}{4}+\frac{32\pi}{4} =\frac{\pi}{4}.$$

Значит $M\!\left(-\tfrac{31\pi}{4}\right)=M\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)$.

(Замечание: можно было бы также использовать чётность/нечётность:
$\cos(-\theta)=\cos\theta,\;\sin(-\theta)=-\sin\theta$, но приведение по модулю $2\pi$ чаще нагляднее.)

Четверть и опорный угол

$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ — I четверть; $\cos>0,\;\sin>0$.

Координаты

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2};\;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

г) $M\!\left(-\tfrac{26\pi}{3}\right)$

Приведение к $[0,2\pi)$

Возьмём $10\pi=\tfrac{30\pi}{3}$:

$$-\frac{26\pi}{3}+10\pi =-\frac{26\pi}{3}+\frac{30\pi}{3} =\frac{4\pi}{3}.$$

Значит $M\!\left(-\tfrac{26\pi}{3}\right)=M\!\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)$.

Четверть и опорный угол

Как и в пункте б), это III четверть; опорный угол $\pi/3$.
Знаки: $\cos<0,\;\sin<0$.

Координаты

$$\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2},$$

$$\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $\displaystyle \left(-\frac{1}{2};\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.