ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами:

а) $M \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)$

б) $M \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)$

в) $M \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$

г) $M(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})$

Найти наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым соответствует точка:

а) $M \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right) = M \left( \frac{\pi}{6} \right) = M \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{\pi}{6} — 2\pi = -\frac{11\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$; $-\frac{11\pi}{6}$.

б) $M \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} \right) = M \left( \frac{5\pi}{6} \right) = M \left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = -\frac{7\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$; $-\frac{7\pi}{6}$.

в) $M \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ; -\frac{1}{2} \right) = M \left( \frac{11\pi}{6} \right) = M \left( \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{11\pi}{6} — 2\pi = -\frac{\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{11\pi}{6}$; $-\frac{\pi}{6}$.

г) $M \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; -\frac{1}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ; -\frac{1}{2} \right) = M \left( \frac{7\pi}{6} \right) = M \left( \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{7\pi}{6} — 2\pi = -\frac{5\pi}{6};$$

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$; $-\frac{5\pi}{6}$.

Для каждой заданной точки $M(x;y)$ на единичной окружности найти:

• наименьшее положительное число $t>0$;
• наибольшее отрицательное число $t<0$,

такие, что точка $M$ имеет координаты $(\cos t,\sin t)$.

Ключевые факты

Параметризация окружности. Любая точка единичной окружности задаётся углом $t$:

$$M(t)=(\cos t,\sin t).$$

Периодичность. Если $t_0$ — какой-то угол, задающий точку $M$, то все углы этой точки:

$$t = t_0 + 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Главное значение угла. Удобно сначала найти угол $t_0\in[0,2\pi)$, соответствующий точке (иногда говорят «главное значение» или «угол в радианах по положительному обходу»).

Правило знаков по четвертям.

• I четверть: $\cos t>0,\ \sin t>0$;
• II: $\cos t<0,\ \sin t>0$;
• III: $\cos t<0,\ \sin t<0$;
• IV: $\cos t>0,\ \sin t<0$.

Опорный (референсный) угол. По абсолютным значениям $|\cos t|,|\sin t|$ узнаём опорный угол. Здесь везде встречаются числа

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},$$

то есть опорный угол равен $\alpha=\frac{\pi}{6}$ (это $30^\circ$).

Как из общего множества получить «наименьшее $>0$» и «наибольшее $<0$»

Пусть найдено главное значение $t_0\in(0,2\pi)$. Тогда:

• наименьшее положительное равно именно $t_0$ (потому что все остальные положительные — это $t_0+2\pi,\,t_0+4\pi,\dots$, они больше);
• наибольшее отрицательное получается при $n=-1$:

  $$t_{\max^-}=t_0-2\pi.$$

  Действительно, для $n=-1$ имеем $t_0-2\pi<0$, и это число ближе всего к нулю; при $n\le -2$ углы ещё меньше (более отрицательны).

Ниже применим этот алгоритм к каждому пункту.

а) $M\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Четверть и опорный угол. Знаки $(+,+)$ ⇒ I четверть, опорный $\alpha=\frac{\pi}{6}$. Значит

$$t_0=\frac{\pi}{6}\quad(=30^\circ).$$

Все решения.

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное.

$$t_{\min^+}=\frac{\pi}{6}.$$

Наибольшее отрицательное.

$$t_{\max^-}=\frac{\pi}{6}-2\pi=-\frac{11\pi}{6}.$$

Ответ (а): $\displaystyle \frac{\pi}{6};\ -\frac{11\pi}{6}$.

б) $M\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)$

Четверть и опорный угол. Знаки $(-,+)$ ⇒ II четверть, опорный $\alpha=\frac{\pi}{6}$. В II четверти угол равен

$$t_0=\pi-\alpha=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\quad(=150^\circ).$$

Все решения.

$$t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное.

$$t_{\min^+}=\frac{5\pi}{6}.$$

Наибольшее отрицательное.

$$t_{\max^-}=\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}.$$

Ответ (б): $\displaystyle \frac{5\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{6}$.

в) $M\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$

Четверть и опорный угол. Знаки $(+,-)$ ⇒ IV четверть, опорный $\alpha=\frac{\pi}{6}$. В IV четверти:

$$t_0=2\pi-\alpha=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\quad(=330^\circ).$$

Все решения.

$$t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное.

$$t_{\min^+}=\frac{11\pi}{6}.$$

Наибольшее отрицательное.

$$t_{\max^-}=\frac{11\pi}{6}-2\pi=-\frac{\pi}{6}.$$

Ответ (в): $\displaystyle \frac{11\pi}{6};\ -\frac{\pi}{6}$.

г) $M\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$

Четверть и опорный угол. Знаки $(-, -)$ ⇒ III четверть, опорный $\alpha=\frac{\pi}{6}$. В III четверти:

$$t_0=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\quad(=210^\circ).$$

Все решения.

$$t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Наименьшее положительное.

$$t_{\min^+}=\frac{7\pi}{6}.$$

Наибольшее отрицательное.

$$t_{\max^-}=\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ (г): $\displaystyle \frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}$.