ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует точка с координатами:

а) $M \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

б) $M \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

в) $M \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

г) $M(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найти наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым соответствует точка:

а) $M \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M \left( \frac{\pi}{3} \right) = M \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{5\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$; $-\frac{5\pi}{3}$.

б) $M \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M \left( \frac{2\pi}{3} \right) = M \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{4\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$; $-\frac{4\pi}{3}$.

в) $M \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M \left( \frac{4\pi}{3} \right) = M \left( \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{4\pi}{3} — 2\pi = -\frac{2\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$; $-\frac{2\pi}{3}$.

г) $M \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Все числа на окружности:

$$M \left( \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M \left( \frac{5\pi}{3} \right) = M \left( \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \right);$$

Наибольшее отрицательное число:

$$t = \frac{5\pi}{3} — 2\pi = -\frac{\pi}{3};$$

Ответ: $\frac{5\pi}{3}$; $-\frac{\pi}{3}$.

• Любая точка $M(x,y)$ на единичной окружности соответствует углам $t$, для которых

  $$x=\cos t,\qquad y=\sin t.$$

• Все такие углы имеют вид $t=\alpha+2\pi n$, где $\alpha\in[0,2\pi)$ — главное значение (угол в стандартной дуге), а $n\in\mathbb Z$.
• Если $\alpha\in(0,2\pi)$ (то есть не ноль), то:
  • наименьшее положительное число из этой арифметической прогрессии — это просто $\alpha$;
  • наибольшее отрицательное — это $\alpha-2\pi$ (угол, ближайший к нулю слева).

а) $M\!\left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$

1) Проверка четверти. $x>0,\; y>0$ ⇒ I четверть.

2) Опорный угол. Таблично:

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значит опорный угол $=\frac{\pi}{3}$.

3) Главное значение. В I четверти $\alpha$ совпадает с опорным углом:

$$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$

4) Все углы точки.

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) Искомые числа.

• Наименьшее положительное: $t_{\min+}=\frac{\pi}{3}$.
• Наибольшее отрицательное: $t_{\max-}=\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{5\pi}{3}$.

Ответ (а): $\displaystyle \frac{\pi}{3};\; -\frac{5\pi}{3}$.

б) $M\!\left(-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$

1) Четверть. $x<0,\; y>0$ ⇒ II четверть.

2) Опорный угол. По модулю косинуса и синуса:

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

В II четверти косинус отрицателен, синус положителен ⇒ $\alpha=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$.

3) Все углы.

$$t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Искомые числа.

• Наименьшее положительное: $t_{\min+}=\frac{2\pi}{3}$.
• Наибольшее отрицательное: $t_{\max-}=\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}$.

Ответ (б): $\displaystyle \frac{2\pi}{3};\; -\frac{4\pi}{3}$.

в) $M\!\left(-\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$

1) Четверть. $x<0,\; y<0$ ⇒ III четверть.

2) Опорный угол. Табличный острый угол — $\frac{\pi}{3}$. В III четверти оба знака отрицательны ⇒

$$\alpha=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.$$

3) Все углы.

$$t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Искомые числа.

• Наименьшее положительное: $t_{\min+}=\frac{4\pi}{3}$.
• Наибольшее отрицательное: $t_{\max-}=\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}$.

Ответ (в): $\displaystyle \frac{4\pi}{3};\; -\frac{2\pi}{3}$.

г) $M\!\left(\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$

1) Четверть. $x>0,\; y<0$ ⇒ IV четверть.

2) Опорный угол. Опорный — $\frac{\pi}{3}$. В IV четверти $\alpha=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$.

3) Все углы.

$$t=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Искомые числа.

• Наименьшее положительное: $t_{\min+}=\frac{5\pi}{3}$.
• Наибольшее отрицательное: $t_{\max-}=\frac{5\pi}{3}-2\pi=-\frac{\pi}{3}$.

Ответ (г): $\displaystyle \frac{5\pi}{3};\; -\frac{\pi}{3}$.