ГДЗ 10-11 Класс Номер 5.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой и запишите, каким числам t они соответствуют:

а) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $y = \frac{1}{2}$;

в) $y = 0$;

г) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти на числовой окружности точки с данной ординатой:

а) $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{4} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{3\pi}{4} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$

б) $y = \frac{1}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{6} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2} \right) = M_2 \left( \frac{5\pi}{6} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

в) $y = 0$;

Подходящие точки:

$$M_1 (1; 0) = M_1 (2\pi);$$ $$M_2 (-1; 0) = M_2 (\pi);$$

Ответ: $t_1 = 2\pi n; \, t_2 = \pi + 2\pi n.$

г) $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Подходящие точки:

$$M_1 \left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_1 \left( \frac{\pi}{3} \right);$$ $$M_2 \left( -\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = M_2 \left( \frac{2\pi}{3} \right);$$

Ответ: $t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \, t_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

1) Общая идея и базовые факты

• Числовая (единичная) окружность: это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Каждой точке $M(x,y)$ на ней соответствует параметр $t$ — длина ориентированной дуги (угол в радианах), отсчитанная от точки $A(1,0)$ против часовой стрелки.
• Параметризация:

  $$x=\cos t,\qquad y=\sin t.$$

  Следовательно, условие «найти точки с данной ординатой $y_0$» эквивалентно решению уравнения

  $$\sin t = y_0.$$

• Общий вид решения $\sin t = y_0$ (при $-1<y_0<1$):
  Пусть $\alpha=\arcsin(y_0)\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Тогда все решения:

  $$t_1=\alpha+2\pi n,\qquad t_2=\pi-\alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

  Геометрически: при $y_0>0$ точки лежат в I и II квадрантах; при $y_0<0$ — в III и IV.

• Координаты найденных точек: если $t$ найден, то $x=\cos t$, $y=\sin t=y_0$. Для стандартных углов используем известные значения синусов и косинусов.

Далее разбираем каждый подпункт.

а) $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1. Находим опорный угол

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2. Учитываем знаки и квадранты

Так как $y>0$, точки на окружности лежат в I и II квадрантах:

$$t_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad t_2=\pi-\frac{\pi}{4}+2\pi n=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Шаг 3. Координаты точек

• При $t_1=\frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  $\Rightarrow M_1\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• При $t_2=\frac{3\pi}{4}$: $\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
  $\Rightarrow M_2\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Итог

$$\boxed{t_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad t_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Проверка: в обоих случаях $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$, верно.

б) $y=\dfrac{1}{2}$

Шаг 1. Опорный угол

$$\sin \alpha=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2. Квадранты

$y>0\Rightarrow$ I и II квадранты:

$$t_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad t_2=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Шаг 3. Координаты

• $t_1=\frac{\pi}{6}$: $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$
  $\Rightarrow M_1\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$.
• $t_2=\frac{5\pi}{6}$: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$
  $\Rightarrow M_2\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Итог

$$\boxed{t_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Проверка: $\sin\frac{\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$, верно.

в) $y=0$

Шаг 1. Решаем $\sin t=0$

Синус обращается в ноль на осях $x$: в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$ на единичной окружности.
Алгебраически:

$$\sin t=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Шаг 2. Представим решения в виде двух классов по модулю $2\pi$

За один оборот $2\pi$ получаем две точки:

• $t_1=0$ (эквивалентно $2\pi n$): точка $M_1(1;0)$.
• $t_2=\pi$ (эквивалентно $\pi+2\pi n$): точка $M_2(-1;0)$.

Итог

$$\boxed{t_1=2\pi n,\quad t_2=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Проверка: $\sin(2\pi n)=0$, $\sin(\pi+2\pi n)=0$, верно.

г) $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1. Опорный угол

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2. Квадранты

$y>0\Rightarrow$ I и II квадранты:

$$t_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad t_2=\pi-\frac{\pi}{3}+2\pi n=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Шаг 3. Координаты

• $t_1=\frac{\pi}{3}$: $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
  $\Rightarrow M_1\!\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
• $t_2=\frac{2\pi}{3}$: $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
  $\Rightarrow M_2\!\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Итог

$$\boxed{t_1=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t_2=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.}$$

Проверка: $\sin\frac{\pi}{3}=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, верно.

Итог:

а) $t_1=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\;\; t_2=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n.$

б) $t_1=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\;\; t_2=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n.$

в) $t_1=2\pi n,\;\; t_2=\pi+2\pi n.$

г) $t_1=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\;\; t_2=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n.$