ГДЗ 10-11 Класс Номер 50.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Выполните задания, исходя из данных, приведённых перед задачей 50.8:

а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по литературе.

б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по русскому языку.

в) По какому предмету отметки в среднем выше?

г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый характер?

Выполнить задание, исходя из данных, приведенных перед задачей 50.8;

а) Дисперсия и среднее квадратичное отклонение отметок по литературе:

$$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 8+5\cdot 5}{1+5+6+8+5}=\frac{1+10+18+32+25}{25}=\mathrm{3,44};$$

$$\bar{x} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 5}{1 + 5 + 6 + 8 + 5} = \frac{1 + 10 + 18 + 32 + 25}{25} = 3{,}44;$$ $$D = \frac{5{,}9536 + 5 \cdot 2{,}0736 + 6 \cdot 0{,}1936 + 8 \cdot 0{,}3136 + 5 \cdot 2{,}4336}{25} \approx 1{,}2864;$$ $$\sigma = \sqrt{1{,}2864} \approx 1{,}1341;$$

б) Дисперсия и среднее квадратичное отклонение отметок по русскому языку:

$$\bar{x}=\frac{1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 11+4\cdot 6+5\cdot 3}{2+3+11+6+3}=\frac{2+6+33+24+15}{25}=\mathrm{3,2};$$

$$\bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 11 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3}{2 + 3 + 11 + 6 + 3} = \frac{2 + 6 + 33 + 24 + 15}{25} = 3{,}2;$$ $$D=\frac{2\cdot \mathrm{4,84}+3\cdot \mathrm{1,44}+11\cdot \mathrm{0,04}+6\cdot \mathrm{0,64}+3\cdot \mathrm{3,24}}{25}=\mathrm{1,12};$$

$$D = \frac{2 \cdot 4{,}84 + 3 \cdot 1{,}44 + 11 \cdot 0{,}04 + 6 \cdot 0{,}64 + 3 \cdot 3{,}24}{25} = 1{,}12;$$ $$\sigma = \sqrt{1{,}12} \approx 1{,}0583;$$

в) В среднем оценки выше по литературе;

г) Более устойчивый характер имеют оценки по русскому языку.

а) Дисперсия и среднее квадратичное отклонение оценок по литературе

Шаг 1: Данные

Оценки по литературе:
1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5

Сгруппируем оценки и определим кратности:

• Оценка 1 — 1 раз
• Оценка 2 — 5 раз
• Оценка 3 — 6 раз
• Оценка 4 — 8 раз
• Оценка 5 — 5 раз

Шаг 2: Находим среднее арифметическое

Формула:

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{n}$$

Подставим:

$$\bar{x} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 5}{1 + 5 + 6 + 8 + 5}$$ $$\bar{x} = \frac{1 + 10 + 18 + 32 + 25}{25} = \frac{86}{25} = 3{,}44$$

Шаг 3: Найдём отклонения от среднего и их квадраты

• $1 — 3{,}44 = -2{,}44$, квадрат: $(-2{,}44)^2 = 5{,}9536$
• $2 — 3{,}44 = -1{,}44$, квадрат: $2{,}0736$
• $3 — 3{,}44 = -0{,}44$, квадрат: $0{,}1936$
• $4 — 3{,}44 = 0{,}56$, квадрат: $0{,}3136$
• $5 — 3{,}44 = 1{,}56$, квадрат: $2{,}4336$

Шаг 4: Найдём дисперсию

Формула дисперсии:

$$D = \frac{\sum n_i \cdot (x_i — \bar{x})^2}{n}$$

Подставим:

$$D = \frac{1 \cdot 5{,}9536 + 5 \cdot 2{,}0736 + 6 \cdot 0{,}1936 + 8 \cdot 0{,}3136 + 5 \cdot 2{,}4336}{25}$$

Посчитаем числитель:

• $1 \cdot 5{,}9536 = 5{,}9536$
• $5 \cdot 2{,}0736 = 10{,}368$
• $6 \cdot 0{,}1936 = 1{,}1616$
• $8 \cdot 0{,}3136 = 2{,}5088$
• $5 \cdot 2{,}4336 = 12{,}168$

Сумма:

$$5{,}9536 + 10{,}368 + 1{,}1616 + 2{,}5088 + 12{,}168 = 32{,}16$$ $$D = \frac{32{,}16}{25} = 1{,}2864$$

Шаг 5: Найдём среднее квадратичное отклонение

$$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{1{,}2864} \approx 1{,}1341$$

б) Дисперсия и среднее квадратичное отклонение оценок по русскому языку

Шаг 1: Данные

Оценки:
1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

Кратности:

• Оценка 1 — 2 раза
• Оценка 2 — 3 раза
• Оценка 3 — 11 раз
• Оценка 4 — 6 раз
• Оценка 5 — 3 раза

Шаг 2: Находим среднее арифметическое

$$\bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 11 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3}{25}$$ $$\bar{x} = \frac{2 + 6 + 33 + 24 + 15}{25} = \frac{80}{25} = 3{,}2$$

Шаг 3: Отклонения от среднего и квадраты

• $1 — 3{,}2 = -2{,}2$, квадрат: $4{,}84$
• $2 — 3{,}2 = -1{,}2$, квадрат: $1{,}44$
• $3 — 3{,}2 = -0{,}2$, квадрат: $0{,}04$
• $4 — 3{,}2 = 0{,}8$, квадрат: $0{,}64$
• $5 — 3{,}2 = 1{,}8$, квадрат: $3{,}24$

Шаг 4: Дисперсия

$$D = \frac{2 \cdot 4{,}84 + 3 \cdot 1{,}44 + 11 \cdot 0{,}04 + 6 \cdot 0{,}64 + 3 \cdot 3{,}24}{25}$$

Вычислим:

• $2 \cdot 4{,}84 = 9{,}68$
• $3 \cdot 1{,}44 = 4{,}32$
• $11 \cdot 0{,}04 = 0{,}44$
• $6 \cdot 0{,}64 = 3{,}84$
• $3 \cdot 3{,}24 = 9{,}72$

Сумма:

$$9{,}68 + 4{,}32 + 0{,}44 + 3{,}84 + 9{,}72 = 28$$ $$D = \frac{28}{25} = 1{,}12$$

Шаг 5: Среднее квадратичное отклонение

$$\sigma = \sqrt{1{,}12} \approx 1{,}0583$$

в) Сравнение средних значений

По литературе:

$$\bar{x} = 3{,}44$$

По русскому языку:

$$\bar{x} = 3{,}2$$

Вывод:
Среднее по литературе выше, чем по русскому языку.

г) Сравнение устойчивости оценок

Стандартное отклонение по литературе:

$$\sigma \approx 1{,}1341$$

Стандартное отклонение по русскому:

$$\sigma \approx 1{,}0583$$

Вывод:
Оценки по русскому языку менее разбросаны, то есть более устойчивы, чем по литературе.