ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В русском языке 33 буквы: 10 гласных, 21 согласная и две специальные буквы (ъ и ь). Два ученика независимо друг от друга выбрали по одной букве русского алфавита. Какова вероятность того, что:

а) были выбраны различные буквы;

б) обе выбранные буквы — гласные;

в) среди выбранных букв есть согласные;

г) это две соседние буквы алфавита?

В русском языке есть 33 буквы:
A = 10 – гласных;
B = 21 – согласная;
C = 2 – специальные;

Два ученика выбрали по одной букве:
$N = 33 \cdot 33 = 33^2$

а) Вероятность, что были выбраны различные буквы:
$N(\bar{E}) = \{(а; а), (б; б), \ldots, (я; я)\} = 33$
$P(\bar{E}) = \dfrac{N(\bar{E})}{N} = \dfrac{33}{33^2} = \dfrac{1}{33}$
$P(E) = 1 — P(\bar{E}) = 1 — \dfrac{1}{33} = \dfrac{32}{33}$
Ответ: $\dfrac{32}{33}$

б) Вероятность, что обе выбранные буквы — гласные:
$N(E) = A \cdot A = 10 \cdot 10 = 10^2$
$P(E) = \dfrac{N(E)}{N} = \dfrac{10^2}{33^2} = \left(\dfrac{10}{33}\right)^2 \approx 0{,}092$
Ответ: $\left(\dfrac{10}{33}\right)^2 \approx 0{,}092$

в) Вероятность, что среди выбранных букв есть согласные:
$N(\bar{E}) = (A + C) \cdot (A + C) = 12 \cdot 12 = 12^2$
$P(\bar{E}) = \dfrac{12^2}{33^2} = \left(\dfrac{12}{33}\right)^2$
$P(E) = 1 — \left(\dfrac{12}{33}\right)^2 \approx 0{,}868$
Ответ: $1 — \left(\dfrac{12}{33}\right)^2 \approx 0{,}868$

г) Вероятность, что это две соседние буквы алфавита:
(Есть по две соседних буквы для всех букв, кроме а и я)
$N(E) = 31 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 62 + 2 = 64$
$P(E) = \dfrac{64}{33^2} \approx 0{,}059$
Ответ: $\dfrac{64}{33^2} \approx 0{,}059$

В русском алфавите 33 буквы, из них:
$A = 10$ — гласных
$B = 21$ — согласная
$C = 2$ — специальные (например, «ь», «ъ»)

Два ученика выбирают по одной букве независимо.
Общее число возможных пар:

$$N = 33 \cdot 33 = 33^2 = 1089$$

а) Вероятность, что выбраны разные буквы

Сначала найдём количество пар, где обе буквы одинаковые.
Всего таких пар — по одной для каждой буквы алфавита (все 33 буквы):

$$N(\bar{E}) = 33$$

Тогда вероятность выбрать одинаковые буквы:

$$P(\bar{E}) = \frac{N(\bar{E})}{N} = \frac{33}{33^2} = \frac{1}{33}$$

Теперь находим вероятность того, что выбраны разные буквы:

$$P(E) = 1 — P(\bar{E}) = 1 — \frac{1}{33} = \frac{32}{33}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{32}{33}}$$

б) Вероятность, что обе выбранные буквы — гласные

Количество гласных: $A = 10$

Каждый ученик может выбрать любую из 10 гласных:

$$N(E) = 10 \cdot 10 = 10^2 = 100$$

Общее число всех возможных пар:
$N = 33^2$

Тогда вероятность:

$$P(E) = \frac{10^2}{33^2} = \left(\frac{10}{33}\right)^2$$

Приближённое значение:

$$\left(\frac{10}{33}\right)^2 = \frac{100}{1089} \approx 0{,}092$$

Ответ:

$$\boxed{\left(\frac{10}{33}\right)^2 \approx 0{,}092}$$

в) Вероятность, что среди выбранных букв есть согласные

Сначала найдём вероятность, что обе буквы не являются согласными,
то есть они — гласные или специальные.

Гласных: $10$, специальных: $2$
Всего таких букв:

$$A + C = 10 + 2 = 12$$

Количество пар без согласных:

$$N(\bar{E}) = 12 \cdot 12 = 12^2 = 144$$

Общее число всех пар: $N = 33^2$

Тогда вероятность, что обе буквы не согласные:

$$P(\bar{E}) = \frac{12^2}{33^2} = \left(\frac{12}{33}\right)^2 = \frac{144}{1089}$$

Теперь находим вероятность того, что хотя бы одна буква — согласная:

$$P(E) = 1 — P(\bar{E}) = 1 — \left(\frac{12}{33}\right)^2$$

Приближённое значение:

$$\left(\frac{12}{33}\right)^2 = \frac{144}{1089} \approx 0{,}132$$ $$P(E) = 1 — 0{,}132 = 0{,}868$$

Ответ:

$$\boxed{1 — \left(\frac{12}{33}\right)^2 \approx 0{,}868}$$

г) Вероятность, что выбраны две соседние буквы алфавита

В русском алфавите 33 буквы.
У каждой буквы (кроме первой и последней) по 2 соседа.
Таких «внутренних» букв — 31:

$$31 \cdot 2 = 62$$

У первой и последней букв (а и я) — только по одному соседу:

$$2 \cdot 1 = 2$$

Итоговое число пар соседних букв:

$$N(E) = 62 + 2 = 64$$

Общее число всех пар: $33^2 = 1089$

Вероятность:

$$P(E) = \frac{64}{33^2} = \frac{64}{1089}$$

Приближённое значение:

$$\frac{64}{1089} \approx 0{,}059$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{64}{33^2} \approx 0{,}059}$$