ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Из пяти чисел 1, 2, 3, 4, 5 поочерёдно выбирают два. Найдите вероятность того, что:

а) первое из чисел меньше второго;

б) эти два числа — длины катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой;

в) произведение этих чисел оканчивается нулём;

г) первое из чисел делится на второе.

Поочерёдно выбирают два числа из чисел:
1, 2, 3, 4, 5

Общее число упорядоченных пар различных чисел:

$$N = 5 \cdot (5 — 1) = 5 \cdot 4 = 20$$

а) Вероятность, что первое из чисел меньше второго:

$$N(A)=\{(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;3),(2;4),(2;5),(3;4),(3;5),(4;5)\}=10$$

$$N(A) = \{(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5), (4; 5)\} = 10$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{10}{20} = 0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}5}$$

б) Вероятность, что эти два числа являются длинами катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой:

$$N(A)=\{(3;4),(4;3)\}=2$$

$$N(A) = \{(3; 4), (4; 3)\} = 2$$ $$P(A) = \frac{2}{20} = 0{,}1$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}1}$$

в) Вероятность, что произведение этих чисел оканчивается нулём:

$$N(A)=\{(2;5),(5;2),(4;5),(5;4)\}=4$$

$$N(A) = \{(2; 5), (5; 2), (4; 5), (5; 4)\} = 4$$ $$P(A) = \frac{4}{20} = 0{,}2$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}2}$$

г) Вероятность, что первое из чисел делится на второе:

$$N(A)=\{(5;1),(4;2),(4;1),(3;1),(2;1)\}=5$$

$$N(A) = \{(5; 1), (4; 2), (4; 1), (3; 1), (2; 1)\} = 5$$ $$P(A) = \frac{5}{20} = 0{,}25$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,25}}}$$

Имеются числа:

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$$

Поочерёдно выбираются два различных числа — сначала первое, затем второе.

Общее количество возможных исходов

Поскольку порядок выбора важен (сначала выбирается первое число, затем второе), а числа разные,
то для первого числа есть 5 вариантов, а для второго — 4 (нельзя выбрать то же самое).

$$N = 5 \cdot 4 = 20$$

Это общее число всех упорядоченных пар различных чисел из множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

а) Вероятность, что первое из чисел меньше второго

Нас интересуют такие пары $(a; b)$, где $a < b$

Полный перебор всех возможных пар, в которых первое число меньше второго:

• $(1; 2),\ (1; 3),\ (1; 4),\ (1; 5)$
• $(2; 3),\ (2; 4),\ (2; 5)$
• $(3; 4),\ (3; 5)$
• $(4; 5)$

Всего таких пар:

$$N(A) = 10$$

Находим вероятность:

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{10}{20} = 0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}5}$$

б) Вероятность, что эти два числа являются длинами катетов прямоугольного треугольника с целочисленной гипотенузой

Мы ищем такие пары $(a; b)$, где числа $a$ и $b$ могут быть длинами катетов прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза — целое число.

По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2,\quad c \in \mathbb{Z}$$

Из всех пар двух различных чисел от 1 до 5, только одна пара удовлетворяет этому:

$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \Rightarrow \text{гипотенуза } c = 5$$

Значит, возможны два упорядоченных варианта:

• $(3; 4)$
• $(4; 3)$

Обе подходят, так как порядок выбора чисел важен.

$$N(A) = 2$$ $$P(A) = \frac{2}{20} = 0{,}1$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}1}$$

в) Вероятность, что произведение этих чисел оканчивается нулём

Произведение целых чисел оканчивается на 0, если оно делится на 10.
Для этого необходимо, чтобы в разложении числа были множители 2 и 5 одновременно.

Найдём такие пары, в которых одно число делится на 2, другое — на 5:

• $(2; 5)$: $2 \cdot 5 = 10$
• $(5; 2)$: $5 \cdot 2 = 10$
• $(4; 5)$: $4 \cdot 5 = 20$
• $(5; 4)$: $5 \cdot 4 = 20$

Все они дают произведение, оканчивающееся на 0.
Всего таких пар:

$$N(A) = 4$$ $$P(A) = \frac{4}{20} = 0{,}2$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}2}$$

г) Вероятность, что первое из чисел делится на второе

Мы ищем такие упорядоченные пары $(a; b)$, где первое число делится на второе:

$$a \bmod b = 0$$

Перебираем все возможные пары:

• $(5; 1)$: делится, т.к. $5 \div 1 = 5$
• $(4; 2)$: делится, т.к. $4 \div 2 = 2$
• $(4; 1)$: делится, т.к. $4 \div 1 = 4$
• $(3; 1)$: делится, т.к. $3 \div 1 = 3$
• $(2; 1)$: делится, т.к. $2 \div 1 = 2$

Другие пары не подходят (например, $5 \div 2 = 2{,}5$, не целое).

$$N(A) = 5$$ $$P(A) = \frac{5}{20} = 0{,}25$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,25}}}$$