ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: -4, -1, 1, 4, 8 (повторения допускаются). Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) правее оси ординат;

б) ниже оси абсцисс;

в) в четвёртой координатной четверти;

г) ниже прямой у = х.

Отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны:
−4; −1; 1; 4; 8;

а) Вероятность, что выбранная точка лежит правее оси ординат:
$N = 5$;
$N(X) = \{1;\ 4;\ 8\} = 3$;

$$P(X) = \frac{N(X)}{N} = \frac{3}{5} = 0{,}6;$$

Ответ: 0,6.

б) Вероятность, что выбранная точка лежит ниже оси абсцисс:
$N = 5$;
$N(Y) = \{-4;\ -1\} = 2$;

$$P(Y) = \frac{N(Y)}{N} = \frac{2}{5} = 0{,}4;$$

Ответ: 0,4.

в) Вероятность, что выбранная точка лежит в четвёртой четверти:

$$N = 5 \cdot 5 = 25;$$

$X = \{1;\ 4;\ 8\} = 3$;
$Y = \{-4;\ -1\} = 2$;

$$N(A)=X\cdot Y=3\cdot 2=6;$$

$$N(A) = X \cdot Y = 3 \cdot 2 = 6;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{25} = 0{,}24;$$

Ответ: 0,24.

г) Вероятность, что выбранная точка лежит ниже прямой $y = x$:

$$N=5\cdot 5=25;$$

$$N = 5 \cdot 5 = 25;$$ $$N(A)=\{(8;4);(8;1);(8;-1);(8;-4);(4;1);(4;-1);(4;-4);(1;-1);$$

$$(1;-4);(-1;-4)\}=10;$$

$$N(A) = \{(8;\ 4);\ (8;\ 1);\ (8;\ -1);\ (8;\ -4);\ (4;\ 1);\ (4;\ -1);\ (4;\ -4);\ (1;\ -1);\ (1;\ -4);\ (-1;\ -4)\} = 10;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{10}{25} = 0{,}4;$$

Ответ: 0,4.

Отмечены все точки, у которых абсциссы и ординаты берутся из одного и того же множества чисел:

$$\{-4,\ -1,\ 1,\ 4,\ 8\}$$

Это означает, что строятся все возможные точки $(x, y)$, где $x$ и $y$ — значения из указанного множества.
Всего таких точек:

$$5 \text{ значений по } x \times 5 \text{ значений по } y = 25 \text{ точек}$$

а) Вероятность, что точка лежит правее оси ординат

Правее оси ординат — это все точки, у которых абсцисса $x > 0$.

Среди чисел $x = \{-4, -1, 1, 4, 8\}$ положительные — это $\{1, 4, 8\}$ — их 3 значения.

Поскольку выбор случайной точки равновероятен, мы считаем, какая доля абсцисс положительна.

$$N(X > 0) = 3,\quad N = 5$$ $$P = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

Ответ (а): $\boxed{0{,}6}$

б) Вероятность, что точка лежит ниже оси абсцисс

Ниже оси абсцисс — это все точки, у которых ордината $y < 0$.

Среди $y = \{-4, -1, 1, 4, 8\}$ — отрицательные значения: $\{-4, -1\}$, всего 2 значения.

$$N(Y < 0) = 2,\quad N = 5$$ $$P = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Ответ (б): $\boxed{0{,}4}$

в) Вероятность, что точка лежит в четвёртой координатной четверти

В четвёртой четверти находятся точки, у которых:

• $x > 0$
• $y < 0$

Из пункта (а): $x = \{1, 4, 8\}$ — 3 значения
Из пункта (б): $y = \{-4, -1\}$ — 2 значения

Значит, таких точек:

$$N = 3 \cdot 2 = 6$$

Всего точек:

$$5 \cdot 5 = 25$$ $$P = \frac{6}{25} = 0{,}24$$

Ответ (в): $\boxed{0{,}24}$

г) Вероятность, что точка лежит ниже прямой $y = x$

Точка $(x, y)$ лежит ниже прямой $y = x$, если:

$$y < x$$

Задача — найти число таких пар $(x, y)$, где $x \ne y$ и $y < x$.

Полный список точек $(x, y)$, где $y < x$:
(Подбор вручную из всех возможных 25 точек)

• при $x = 8$: $y = 4,\ 1,\ -1,\ -4$ → 4 точки
• при $x = 4$: $y = 1,\ -1,\ -4$ → 3 точки
• при $x = 1$: $y = -1,\ -4$ → 2 точки
• при $x = -1$: $y = -4$ → 1 точка
• при $x = -4$: нет $y < x$

Итог:

$$4 + 3 + 2 + 1 = 10$$

Общее число точек: 25

$$P = \frac{10}{25} = 0{,}4$$

Ответ (г): $\boxed{0{,}4}$

Финальные ответы:

а) $0{,}6$
б) $0{,}4$
в) $0{,}24$
г) $0{,}4$