ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составили множество всех чисел вида

$$x=2^a\cdot 5^b,\text{где }a,b\in \{0;1;2;3;4\}$$

(совпадения допускаются). Из этого множества случайным образом выбрали одно число. Какова вероятность того, что оно будет:

а) больше 1;

б) меньше 20;

в) нечётным;

г) не оканчиваться нулём?

Составили множество всех чисел вида:

$$x = 2^a \cdot 5^b,\quad \text{где } a,\ b \in \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4\};$$

а) Вероятность, что выбранное число будет больше 1:

$$N=5\cdot 5=25;$$

$$N = 5 \cdot 5 = 25;$$ $$N(\bar{A})=2^0\cdot 5^0=1;$$

$$N(\overline{A}) = 2^0 \cdot 5^0 = 1;$$ $$P(\bar{A})=\frac{1}{25}=\mathrm{0,04};$$

$$P(\overline{A}) = \frac{1}{25} = 0{,}04;$$ $$P(A) = 1 — P(\overline{A}) = 1 — 0{,}04 = 0{,}96;$$

Ответ: $0{,}96$

б) Вероятность, что выбранное число будет меньше 20:

$$N=25;$$

$$N = 25;$$ $$N(A)=\{2^0\cdot 5^0;2^0\cdot 5^1;2^1\cdot 5^0;2^1\cdot 5^1;2^2\cdot 5^0;2^3\cdot 5^0;2^4\cdot 5^0\}=7;$$

$$N(A) = \{2^0 \cdot 5^0;\ 2^0 \cdot 5^1;\ 2^1 \cdot 5^0;\ 2^1 \cdot 5^1;\ 2^2 \cdot 5^0;\ 2^3 \cdot 5^0;\ 2^4 \cdot 5^0\} = 7;$$ $$P(A) = \frac{7}{25} = 0{,}28;$$

Ответ: $0{,}28$

в) Вероятность, что выбранное число будет нечётным:
Число нечётное, если оно не делится на 2, то есть степень двойки $a = 0$

$$N=5;a\in \{0\}\Rightarrow \text{все }{5}^b\text{ при }b=0\dots 4;$$

$$N = 5;\quad a \in \{0\} \Rightarrow \text{все } 5^b \text{ при } b = 0\ldots4;$$ $$N(A) = 5;\quad P(A) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0{,}2;$$

Ответ: $0{,}2$

г) Вероятность, что выбранное число не оканчивается на ноль:
Число оканчивается на 0, если в его разложении есть и двойка, и пятёрка
(то есть $a \geq 1$ и $b \geq 1$)
Следовательно, чтобы не оканчивалось на ноль, должно быть:

• либо $a = 0$, $b \in \{1,2,3,4\}$ — это 4 числа
• либо $b = 0$, $a \in \{1,2,3,4\}$ — это тоже 4 числа
• плюс $a = 0,\ b = 0$ — число 1

Всего:

$$4 + 4 + 1 = 9;\quad N = 25;\quad P = \frac{9}{25} = 0{,}36;$$

Ответ: $0{,}36$

Найти вероятности для различных условий, когда рассматриваются числа вида:

$$x = 2^a \cdot 5^b,\quad \text{где } a,\ b \in \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4\}$$

Значения $a$ и $b$ выбираются независимо, каждое из 5 значений.
Значит, общее количество возможных чисел:

$$N = 5 \cdot 5 = 25$$

а) Вероятность, что выбранное число будет больше 1

Единственное число, которое не больше 1, это:

$$2^0 \cdot 5^0 = 1$$

Это — единственный элемент, не удовлетворяющий условию.

Значит:

• $N(\overline{A}) = 1$
• $N(A) = 25 — 1 = 24$

Находим вероятность:

$$P(A) = \frac{24}{25} = 0{,}96$$

Ответ (а):

$$\boxed{0{,}96}$$

б) Вероятность, что выбранное число меньше 20

Мы ищем, при каких значениях $a$ и $b$ число $x = 2^a \cdot 5^b < 20$

Подставим и проверим вручную (по порядку, от меньших к большим):

1. $2^0 \cdot 5^0 = 1$
2. $2^0 \cdot 5^1 = 5$
3. $2^1 \cdot 5^0 = 2$
4. $2^1 \cdot 5^1 = 10$
5. $2^2 \cdot 5^0 = 4$
6. $2^3 \cdot 5^0 = 8$
7. $2^4 \cdot 5^0 = 16$

Проверим следующее:

• $2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$ — не меньше, не подходит
• остальные — больше

Значит, подходящих значений: 7

$$P = \frac{7}{25} = 0{,}28$$

Ответ (б):

$$\boxed{0{,}28}$$

в) Вероятность, что выбранное число будет нечётным

Число нечётное, только если оно не делится на 2, то есть:

$$a = 0$$

Тогда:

$$x = 2^0 \cdot 5^b = 1 \cdot 5^b = 5^b$$

При $b = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$ получаем:

• $1,\ 5,\ 25,\ 125,\ 625$ — все нечётные

Таких значений — 5

$$P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Ответ (в):

$$\boxed{0{,}2}$$

г) Вероятность, что число не оканчивается на ноль

Число оканчивается на 0, если в разложении есть и двойка, и пятёрка, т.е. $a \geq 1$ и $b \geq 1$

Примеры: $2^1 \cdot 5^1 = 10$, $2^2 \cdot 5^3 = 200$, и т.д.

То есть числа без нуля на конце — это те, где:

• либо $a = 0$, $b = 1,2,3,4$
• либо $b = 0$, $a = 1,2,3,4$
• плюс $a = 0,\ b = 0$ (число 1)

Подсчёт:

• $a = 0$, $b = 1..4$ → 4 числа
• $b = 0$, $a = 1..4$ → 4 числа
• $a = 0,\ b = 0$ → 1 число

$$N = 4 + 4 + 1 = 9$$ $$P = \frac{9}{25} = 0{,}36$$

Ответ (г):

$$\boxed{0{,}36}$$

Финальные ответы:

а) $0{,}96$
б) $0{,}28$
в) $0{,}2$
г) $0{,}36$