ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Ученик случайным образом выбрал произвольное трёхзначное натуральное число, начинающееся с единицы. Найдите вероятность того, что:

а) это число нечётное;

б) среди цифр этого числа есть 3;

в) это число не является кубом целого числа;

г) сумма его цифр больше 3.

Ученик выбрал трёхзначное число, начинающееся с единицы:

$$N_1=\{1\}=1;N_2=N_3=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}=10;$$

$$N_1 = \{1\} = 1;\quad N_2 = N_3 = \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9\} = 10;$$ $$N = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100;$$

а) Вероятность, что выбранное число нечётное:

$$N_3=\{1;3;5;7;9\}=5;$$

$$N_3 = \{1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9\} = 5;$$ $$N(A)=N_1\cdot N_2\cdot N_3=1\cdot 10\cdot 5=50;$$

$$N(A) = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 1 \cdot 10 \cdot 5 = 50;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{50}{100} = 0{,}5;$$

Ответ: $0{,}5$

б) Вероятность, что среди цифр выбранного числа есть цифра 3:

$$\overline{N_2}=\overline{N_3}=\{0;1;2;4;5;6;7;8;9\}=9;$$

$$\overline{N_2} = \overline{N_3} = \{0;\ 1;\ 2;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9\} = 9;$$ $$N(\bar{A})=N_1\cdot \overline{N_2}\cdot \overline{N_3}=1\cdot 9\cdot 9=81;$$

$$N(\overline{A}) = N_1 \cdot \overline{N_2} \cdot \overline{N_3} = 1 \cdot 9 \cdot 9 = 81;$$ $$P(\overline{A}) = \frac{81}{100} = 0{,}81;\quad P(A) = 1 — 0{,}81 = 0{,}19;$$

Ответ: $0{,}19$

в) Вероятность, что число не является кубом целого числа:
Единственное трёхзначное число, начинающееся с 1 и являющееся кубом:

$$5^3 = 125$$ $$N(\overline{A}) = 1;\quad P(\overline{A}) = \frac{1}{100} = 0{,}01;\quad P(A) = 1 — 0{,}01 = 0{,}99;$$

Ответ: $0{,}99$

г) Вероятность, что сумма цифр выбранного числа больше 3:
Ищем числа с суммой цифр не больше 3:

• $1 + 0 + 0 = 1$ → 100
• $1 + 0 + 1 = 2$ → 101
• $1 + 0 + 2 = 3$ → 102
• $1 + 1 + 0 = 2$ → 110
• $1 + 1 + 1 = 3$ → 111
• $1 + 2 + 0 = 3$ → 120

Итак:

$$N(\overline{A}) = 6;\quad P(\overline{A}) = \frac{6}{100} = 0{,}06;\quad P(A) = 1 — 0{,}06 = 0{,}94;$$

Ответ: $0{,}94$

Ученик выбирает трёхзначное число, которое обязательно начинается с единицы.
Это значит:

• Первая цифра (сотни) фиксирована: $N_1 = \{1\}$
• Вторая и третья цифры (десятки и единицы) могут быть любыми от 0 до 9:
  $N_2 = N_3 = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$

Общее количество возможных чисел:

$$N = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 = 1 \cdot 10 \cdot 10 = 100$$

а) Вероятность, что выбранное число нечётное

Нечётное число — это такое, у которого последняя цифра нечётная.
Из набора $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ нечётными являются:

$$\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\} \Rightarrow 5 \text{ вариантов}$$

Остальные цифры (первая и вторая) выбираются независимо:

• $N_1 = 1$
• $N_2 = 10$
• $N_3 = 5$ (только нечётные)

Чисел, оканчивающихся на нечётную цифру:

$$N(A) = 1 \cdot 10 \cdot 5 = 50$$

Вероятность:

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{50}{100} = 0{,}5$$

Ответ (а): $0{,}5$

б) Вероятность, что среди цифр выбранного числа есть 3

Число состоит из трёх цифр: сотни (1), десятки и единицы.
Нас интересует, чтобы хотя бы одна из двух последних цифр была равна 3.

Противоположное событие — в числе нет ни одной тройки, т.е. и в десятках, и в единицах цифра не равна 3.

Без тройки цифры в позициях десятков и единиц могут быть из множества:

$$\{0,\ 1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\} \Rightarrow 9 вариантов$$

Значит:

$$N(\overline{A}) = 1 \cdot 9 \cdot 9 = 81$$ $$P(\overline{A}) = \frac{81}{100} = 0{,}81$$ $$P(A) = 1 — 0{,}81 = 0{,}19$$

Ответ (б): $0{,}19$

в) Вероятность, что число не является кубом целого числа

Рассмотрим все трёхзначные числа, начинающиеся с 1. Это диапазон от 100 до 199.

Проверим, какие кубы целых чисел попадают в этот диапазон:

• $4^3 = 64$ — слишком мало
• $5^3 = 125$
• $6^3 = 216$ — уже больше 199

Значит, только одно подходящее число — 125

$$N(\overline{A}) = 1 \Rightarrow \text{только одно число является кубом}$$ $$P(\overline{A}) = \frac{1}{100} = 0{,}01$$ $$P(A) = 1 — 0{,}01 = 0{,}99$$

Ответ (в): $0{,}99$

г) Вероятность, что сумма цифр выбранного числа больше 3

Противоположное событие: сумма цифр не больше 3

Пусть число имеет вид: $1xy$, где:

• первая цифра всегда 1
• x и y — от 0 до 9

Найдём все возможные сочетания, при которых:

$$1 + x + y \leq 3 \Rightarrow x + y \leq 2$$

Теперь подберём все пары (x, y), где сумма ≤ 2:

• (0, 0): сумма = 0 → 1 + 0 + 0 = 1 → 100
• (0, 1): сумма = 1 → 101
• (0, 2): сумма = 2 → 102
• (1, 0): сумма = 1 → 110
• (1, 1): сумма = 2 → 111
• (2, 0): сумма = 2 → 120

Итак, всего 6 таких чисел:

$$N(\overline{A}) = 6 \Rightarrow P(\overline{A}) = \frac{6}{100} = 0{,}06$$ $$P(A) = 1 — 0{,}06 = 0{,}94$$

Ответ (г): $0{,}94$

Итоговые ответы:

а) $0{,}5$
б) $0{,}19$
в) $0{,}99$
г) $0{,}94$