ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что:

а) среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки;

б) среди выпавших чисел есть или пятёрка, или шестёрка;

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

г) произведение выпавших чисел меньше 25.

Игральную кость бросили дважды:

$$A=B=\{1;2;3;4;5;6\}=6;$$

$$A = B = \{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\} = 6;$$ $$N = A \cdot B = 6 \cdot 6 = 36;$$

а) Вероятность, что среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки:

$$A=B=\{1;2;3;4;6\}=5;$$

$$A = B = \{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6\} = 5;$$ $$N(E)=A\cdot B=5\cdot 5=25;$$

$$N(E) = A \cdot B = 5 \cdot 5 = 25;$$ $$P(E) = \frac{25}{36};$$

Ответ: $\dfrac{25}{36}$

б) Вероятность, что среди выпавших чисел есть 5 или 6:

Противоположное событие — оба числа не равны 5 и не равны 6:

$$\bar{A}=\bar{B}=\{1;2;3;4\}=4;$$

$$\overline{A} = \overline{B} = \{1;\ 2;\ 3;\ 4\} = 4;$$ $$N(\bar{E})=4\cdot 4=16;$$

$$N(\overline{E}) = 4 \cdot 4 = 16;$$ $$P(\bar{E})=\frac{16}{36}=\frac{4}{9};$$

$$P(\overline{E}) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9};$$ $$P(E) = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9};$$

Ответ: $\dfrac{5}{9}$

в) Вероятность, что сумма выпавших чисел меньше 11:

Противоположное событие: сумма не меньше 11, то есть 11 или 12.
Такие случаи:

• $6 + 6 = 12$
• $6 + 5 = 11$
• $5 + 6 = 11$

$$N(\bar{E})=3;$$

$$N(\overline{E}) = 3;$$ $$P(\bar{E})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12};$$

$$P(\overline{E}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12};$$ $$P(E) = 1 — \frac{1}{12} = \frac{11}{12};$$

Ответ: $\dfrac{11}{12}$

г) Вероятность, что произведение выпавших чисел меньше 25:

Противоположное событие: произведение не меньше 25

Такие случаи:

• $5 \cdot 5 = 25$
• $5 \cdot 6 = 30$
• $6 \cdot 5 = 30$
• $6 \cdot 6 = 36$

$$N(\bar{E})=4;$$

$$N(\overline{E}) = 4;$$ $$P(\bar{E})=\frac{4}{36}=\frac{1}{9};$$

$$P(\overline{E}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9};$$ $$P(E) = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9};$$

Ответ: $\dfrac{8}{9}$

Игральную кость бросили дважды. У каждого броска может выпасть одно из чисел от 1 до 6.
Множество исходов для каждого броска:

$$A = B = \{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\},\quad \text{по 6 вариантов}$$

Общее число элементарных исходов:

$$N = 6 \cdot 6 = 36$$

(это все возможные пары вида $(a;\ b)$, где $a$ — первый бросок, $b$ — второй)

а) Вероятность, что среди выпавших чисел нет ни одной пятёрки

Шаг 1. Ограничим множество значений — исключим 5:

$$A = B = \{1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6\} \Rightarrow 5 \text{ значений в каждом броске}$$

Шаг 2. Найдём число исходов, в которых ни в первом, ни во втором броске не выпала 5:

$$N(E) = 5 \cdot 5 = 25$$

Шаг 3. Вычислим вероятность:

$$P(E) = \frac{N(E)}{N} = \frac{25}{36}$$

Ответ (а): $\boxed{\dfrac{25}{36}}$

б) Вероятность, что среди выпавших чисел есть 5 или 6

Шаг 1. Сначала найдём противоположное событие: в обоих бросках выпало число меньше 5, то есть из множества:

$$\{1;\ 2;\ 3;\ 4\} \Rightarrow 4 варианта$$

Шаг 2. Число исходов без 5 и 6:

$$N(\overline{E}) = 4 \cdot 4 = 16$$

Шаг 3. Вероятность противоположного события:

$$P(\overline{E}) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$$

Шаг 4. Тогда вероятность нужного события:

$$P(E) = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

Ответ (б): $\boxed{\dfrac{5}{9}}$

в) Вероятность, что сумма выпавших чисел меньше 11

Шаг 1. Противоположное событие: сумма не меньше 11, то есть = 11 или 12

Такие пары:

• $(5;\ 6) \Rightarrow 11$
• $(6;\ 5) \Rightarrow 11$
• $(6;\ 6) \Rightarrow 12$

Шаг 2. Всего таких исходов:

$$N(\overline{E}) = 3$$

Шаг 3. Вероятность:

$$P(\overline{E}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$$

Шаг 4. Тогда:

$$P(E) = 1 — \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$$

Ответ (в): $\boxed{\dfrac{11}{12}}$

г) Вероятность, что произведение выпавших чисел меньше 25

Шаг 1. Противоположное событие: произведение не меньше 25

Найдём пары $(a;\ b)$, для которых $a \cdot b \geq 25$

Подходящие:

• $(5;\ 5) = 25$
• $(5;\ 6) = 30$
• $(6;\ 5) = 30$
• $(6;\ 6) = 36$

Шаг 2. Таких случаев:

$$N(\overline{E}) = 4$$

Шаг 3. Вероятность противоположного события:

$$P(\overline{E}) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

Шаг 4. Тогда:

$$P(E) = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

Ответ (г): $\boxed{\dfrac{8}{9}}$

Финальные ответы:

а) $\dfrac{25}{36}$

б) $\dfrac{5}{9}$

в) $\dfrac{11}{12}$

г) $\dfrac{8}{9}$