ГДЗ 10-11 Класс Номер 51.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Из костей домино выбрали одну. Какова вероятность того, что:

а) она является дублем;

б) на ней выпала «шестёрка»;

в) произведение очков на ней меньше 26;

г) модуль разности очков больше 1?

Из костей домино выбрали одну:

$$N=28;$$

а) Вероятность, что выбранная кость является дублем:
Дубль — это кость, у которой оба конца имеют одинаковое значение. Таких костей:

$$(0;0),(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)\Rightarrow 7\text{штук}$$

$$$$$$P(A)=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

б) Вероятность, что на выбранной кости есть шестерка:
Такие кости — все, в которых хотя бы один конец равен 6:

$$(0;6),(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),(6;6)\Rightarrow 7\text{штук}$$

$$$$$$P(A)=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

в) Вероятность, что произведение очков меньше 26

Противоположное событие — произведение не меньше 26

Проверим возможные варианты:

• $(6;6)=36$
• $(6;5)=30$

Только эти 2 кости не удовлетворяют условию.

$$N(\bar{A})=2,P(\bar{A})=\frac{2}{28}=\frac{1}{14}$$

$$$$$$P(A)=1-\frac{1}{14}=\frac{13}{14}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{13}{14}}$

г) Вероятность, что модуль разности очков больше 1:

Найдём кости, у которых $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }>1$:
(записываются только уникальные, так как порядок не имеет значения в домино)

$$(0;2),(0;3),(0;4),(0;5),(0;6),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;4),$$

$$(2;5),(2;6),(3;5),(3;6),(4;6)$$

Всего таких костей:

$$N(A)=15,P(A)=\frac{15}{28}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{15}{28}}$

Из стандартного набора домино случайно выбирают одну кость.

Всего в наборе 28 костей. Каждая кость — это пара чисел от 0 до 6, при этом порядок чисел не имеет значения. Кости вида $(a;b)$ и $(b;a)$ считаются одинаковыми.

Все возможные комбинации таких пар без повторений составляют:

$$N=\frac{(6+1)(6+2)}{2}=\frac{7\cdot 8}{2}=28$$

а) Вероятность, что выбранная кость — дубль

Дубль — это кость, у которой оба значения одинаковы:

$$(0;0),(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)$$

Таких дублей:

$$N(A)=7$$

Общее количество костей:

$$N=28$$

Вероятность:

$$P(A)=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$$

Ответ (а): $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$

б) Вероятность, что на кости есть шестерка

Нам нужно найти, сколько костей содержат 6 хотя бы один раз.

Такие кости:

$$(0;6),(1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5;6),(6;6)$$

Всего:

$$N(A)=7\Rightarrow P(A)=\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$$

Ответ (б): $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$

в) Вероятность, что произведение очков меньше 26

Противоположное событие — произведение не меньше 26.

Проверим вручную все кости, где произведение $a\cdot b\ge 26$. Так как максимальные значения — 6, максимальное произведение — $6\cdot 6=36$

Находим такие кости:

• $(6;6)=36$
• $(6;5)=30$

Больше таких пар нет, так как:

• $(5;5)=25$
• $(6;4)=24$ — уже меньше

Значит:

$$N(\bar{A})=2,P(\bar{A})=\frac{2}{28}=\frac{1}{14}$$$$P(A)=1-\frac{1}{14}=\frac{13}{14}$$

Ответ (в): $\boxed{{\displaystyle \frac{13}{14}}}$

г) Вероятность, что модуль разности очков больше 1

Ищем все кости, где:

$$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }>1$$

То есть:

• разность между значениями на концах кости — больше единицы
• учитываем только уникальные комбинации

Перебираем все возможные кости:

Разность 2:

• $(0;2),(1;3),(2;4),(3;5),(4;6)$

Разность 3:

• $(0;3),(1;4),(2;5),(3;6)$

Разность 4:

• $(0;4),(1;5),(2;6)$

Разность 5:

• $(0;5),(1;6)$

Разность 6:

• $(0;6)$

Итого:

$$15\text{ костей, удовлетворяющих условию}$$$$P(A)=\frac{15}{28}$$

Ответ (г): $\boxed{{\displaystyle \frac{15}{28}}}$

Финальные ответы:

а) ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

б) ${\displaystyle \frac{1}{4}}$

в) ${\displaystyle \frac{13}{14}}$

г) ${\displaystyle \frac{15}{28}}$