ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $A_{x}^{5} = 18 A_{x-2}^{4}$;

б) $A_{x-1}^{2} — C_{x}^{1} = 79$;

в) $C_{x}^{3} = A_{x}^{2}$;

г) $C_{x}^{4} = A_{x}^{3} + C_{x}^{3}$

Решить уравнение:

а) $A_{x}^{5} = 18 A_{x-2}^{4}$;

$$\frac{x!}{(x — 5)!} = 18 \cdot \frac{(x — 2)!}{((x — 2) — 4)!};$$ $$\frac{x(x — 1) \cdot (x — 2)!}{(x — 5)(x — 6)!} = \frac{18 \cdot (x — 2)!}{(x — 6)!};$$ $$\frac{x(x — 1)}{x — 5} = 18;$$ $$x(x — 1) = 18(x — 5);$$ $$x^2 — x = 18x — 90;$$ $$x^2 — 19x + 90 = 0;$$ $$D = 19^2 — 4 \cdot 90 = 361 — 360 = 1;$$ $$x_1 = \frac{19 — 1}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10;$$

Ответ: 9; 10.

б) $A_{x-1}^{2} — C_{x}^{1} = 79$;

$$\frac{(x — 1)!}{(x — 3)!} — \frac{x!}{1! \cdot (x — 1)!} = 79;$$ $$\frac{(x — 1)(x — 2)(x — 3)!}{(x — 3)!} — \frac{x(x — 1)!}{(x — 1)!} = 79;$$ $$(x — 1)(x — 2) — x = 79;$$ $$x^2 — 2x — x + 2 — 79 = 0;$$ $$x^2 — 4x — 77 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 77 = 16 + 308 = 324;$$ $$x_1 = \frac{4 — 18}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{4 + 18}{2} = 11;$$

Ответ: 11.

в) $C_{x}^{3} = A_{x}^{2}$;

$$\frac{x!}{3! \cdot (x — 3)!} = \frac{x!}{(x — 2)!};$$ $$\frac{1}{3 \cdot 2 \cdot (x — 3)!} = \frac{1}{(x — 2)(x — 3)!};$$ $$6 = x — 2;$$ $$x = 6 + 2 = 8;$$

Ответ: 8.

г) $C_{x}^{4} = A_{x}^{3} + C_{x}^{3}$;

$$\frac{x!}{4! \cdot (x — 4)!} = \frac{x!}{(x — 3)!} + \frac{x!}{3! \cdot (x — 3)!};$$ $$\frac{1}{4 \cdot 3! \cdot (x — 4)!} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{3! \cdot (x — 3) \cdot (x — 4)!};$$ $$\frac{1}{4} = \frac{7}{x — 3};$$ $$x — 3 = 7 \cdot 4 = 28;$$ $$x = 28 + 3 = 31;$$

Ответ: 31.

а) $A_{x}^{5} = 18 \cdot A_{x — 2}^{4}$

Шаг 1. Формула размещений:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!}$$

Применим:

$$\frac{x!}{(x — 5)!} = 18 \cdot \frac{(x — 2)!}{(x — 6)!}$$

Шаг 2. Разделим обе части на $(x — 5)!$ и $(x — 6)!$:

Левую часть перепишем как:

$$x(x — 1)(x — 2)! = \frac{x!}{(x — 2)!}$$

Правую часть:

$$18 \cdot \frac{(x — 2)!}{(x — 6)!}$$

Но лучше упростим уравнение:

Сократим обе части на $(x — 6)!$, оно содержится в $(x — 5)! = (x — 5)(x — 6)!$, и в $(x — 2)!$

Итак, выразим:

$$\frac{x(x — 1)(x — 2)!}{(x — 5)(x — 6)!} = \frac{18(x — 2)!}{(x — 6)!}$$

Сократим $(x — 2)!$ и $(x — 6)!$:

$$\frac{x(x — 1)}{x — 5} = 18$$

Шаг 3. Умножим обе части на $(x — 5)$:

$$x(x — 1) = 18(x — 5)$$

Шаг 4. Раскроем скобки:

$$x^2 — x = 18x — 90$$

Шаг 5. Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 — 19x + 90 = 0$$

Шаг 6. Найдем дискриминант:

$$D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 — 360 = 1$$

Шаг 7. Найдем корни:

$$x_1 = \frac{19 — 1}{2} = 9,\quad x_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10$$

Ответ: 9; 10

б) $A_{x — 1}^{2} — C_{x}^{1} = 79$

Шаг 1. Подставим формулы:

$$A_{x — 1}^2 = \frac{(x — 1)!}{(x — 3)!},\quad C_x^1 = \frac{x!}{1!(x — 1)!} = \frac{x \cdot (x — 1)!}{(x — 1)!} = x$$ $$A_{x — 1}^2 = (x — 1)(x — 2)$$

Уравнение:

$$(x — 1)(x — 2) — x = 79$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$x^2 — 3x + 2 — x = 79$$ $$x^2 — 4x + 2 — 79 = 0$$ $$x^2 — 4x — 77 = 0$$

Шаг 3. Найдем дискриминант:

$$D = 16 + 4 \cdot 77 = 16 + 308 = 324$$ $$\sqrt{D} = 18$$

Шаг 4. Найдем корни:

$$x_1 = \frac{4 — 18}{2} = -7,\quad x_2 = \frac{4 + 18}{2} = 11$$

Ответ: 11

в) $C_x^3 = A_x^2$

Шаг 1. Формулы:

$$C_x^3 = \frac{x!}{3!(x — 3)!},\quad A_x^2 = \frac{x!}{(x — 2)!}$$

Подставим:

$$\frac{x!}{6(x — 3)!} = \frac{x!}{(x — 2)!}$$

Сократим $x!$:

$$\frac{1}{6(x — 3)!} = \frac{1}{(x — 2)(x — 3)!}$$

Сократим $(x — 3)!$:

$$\frac{1}{6} = \frac{1}{x — 2}$$

Шаг 2. Перевернем обе части:

$$x — 2 = 6 \Rightarrow x = 8$$

Ответ: 8

г) $C_x^4 = A_x^3 + C_x^3$

Шаг 1. Формулы:

$$C_x^4 = \frac{x!}{4!(x — 4)!},\quad A_x^3 = \frac{x!}{(x — 3)!},\quad C_x^3 = \frac{x!}{3!(x — 3)!}$$

Подставим:

$$\frac{x!}{24(x — 4)!} = \frac{x!}{(x — 3)!} + \frac{x!}{6(x — 3)!}$$

Справа приведем к общему знаменателю:

$$\frac{x!}{(x — 3)!} \left(1 + \frac{1}{6}\right) = \frac{7x!}{6(x — 3)!}$$

Левая часть:

$$\frac{x!}{24(x — 4)!}$$

Уравнение:

$$\frac{x!}{24(x — 4)!} = \frac{7x!}{6(x — 3)!}$$

Сократим $x!$:

$$\frac{1}{24(x — 4)!} = \frac{7}{6(x — 3)!}$$

Теперь выразим обе части через $(x — 4)!$:

Поскольку $(x — 3)! = (x — 3)(x — 4)!$, то:

$$\frac{1}{24(x — 4)!} = \frac{7}{6(x — 3)(x — 4)!}$$

Сократим $(x — 4)!$:

$$\frac{1}{24} = \frac{7}{6(x — 3)}$$

Умножим обе части на $24 \cdot 6(x — 3)$:

$$6(x — 3) = 168 \Rightarrow x — 3 = 28 \Rightarrow x = 31$$

Ответ: 31