ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $$$120 < A^2_{k — 3} < 140;$

б) $$$C_6^2 < A_n^2 < C_8^2;$

в) $$$C_{10}^2 < A_x^2 < 60;$

г) $$$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200$

Решить неравенство:

а) $$$120 < A^2_{k — 3} < 140;$

$$120 < (k — 3)((k — 3) — 1) < 140;$$ $$120 < (k — 3)(k — 4) < 140;$$ $$120 < k^2 — 4k — 3k + 12 < 140;$$ $$108 < k^2 — 7k < 128;$$ $$108 < k(k — 7) < 128;$$

Методом перебора:
$k = 15:\quad 15(15 — 7) = 15 \cdot 8 = 120;\quad \text{Подходит.}$
Ответ: 15.

б) $$$C_6^2 < A_n^2 < C_8^2;$

$$\frac{6(6 — 1)}{2} < n(n — 1) < \frac{8(8 — 1)}{2};$$ $$\frac{30}{2} < n(n — 1) < \frac{56}{2};$$ $$15 < n(n — 1) < 28;$$

Подбором:
$n = 5:\quad 5(5 — 1) = 5 \cdot 4 = 20;\quad \text{Подходит.}$
Ответ: 5.

в) $$$C_{10}^2 < A_x^2 < 60;$

$$\frac{10(10 — 1)}{2} < x(x — 1) < 60;$$ $$\frac{90}{2} = 45 < x(x — 1) < 60;$$

Подбором:
$x = 8:\quad 8 \cdot 7 = 56;\quad \text{Подходит.}$
Ответ: 8.

г) $$$C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200;$

$$\frac{19 \cdot 18}{2} < x(x — 1) + \frac{x(x — 1)}{2} < 200;$$ $$171 < \frac{3x(x — 1)}{2} < 200;$$

Умножим всё на 2:

$$342 < 3x(x — 1) < 400;$$

Подбором:
$x = 12:\quad 3 \cdot 12 \cdot 11 = 396;\quad \text{Подходит.}$
Ответ: 12.

а) Решить неравенство

$$120 < A_{k — 3}^2 < 140$$

Шаг 1. Вспомним формулу:

Размещения без повторений:

$$A_n^2 = n(n — 1)$$

Вместо $n$ у нас $k — 3$, значит:

$$A_{k — 3}^2 = (k — 3)(k — 4)$$

Подставим в неравенство:

$$120 < (k — 3)(k — 4) < 140$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(k — 3)(k — 4) = k^2 — 4k — 3k + 12 = k^2 — 7k + 12$$

Значит:

$$120 < k^2 — 7k + 12 < 140$$

Шаг 3. Вычтем 12 из всех частей:

$$108 < k^2 — 7k < 128$$

Перепишем:

$$108 < k(k — 7) < 128$$

Шаг 4. Подбор значения $k$:

Пробуем:

• $k = 14 \Rightarrow 14 \cdot 7 = 98$ — мало
• $k = 15 \Rightarrow 15 \cdot 8 = 120$ — попадает
• $k = 16 \Rightarrow 16 \cdot 9 = 144$ — больше

Ответ: $\boxed{15}$

б) Решить неравенство

$$C_6^2 < A_n^2 < C_8^2$$

Шаг 1. Посчитаем границы:

$$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \quad \text{и} \quad C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Значит:

$$15 < A_n^2 < 28$$

А по формуле:

$$A_n^2 = n(n — 1)$$

Итак:

$$15 < n(n — 1) < 28$$

Шаг 2. Подбор:

• $n = 4 \Rightarrow 4 \cdot 3 = 12$ — мало
• $n = 5 \Rightarrow 5 \cdot 4 = 20$ — подходит
• $n = 6 \Rightarrow 6 \cdot 5 = 30$ — больше

Ответ: $\boxed{5}$

в) Решить неравенство

$$C_{10}^2 < A_x^2 < 60$$

Шаг 1. Посчитаем:

$$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$

Значит:

$$45 < x(x — 1) < 60$$

Шаг 2. Подбор:

• $x = 7 \Rightarrow 7 \cdot 6 = 42$ — мало
• $x = 8 \Rightarrow 8 \cdot 7 = 56$ — подходит
• $x = 9 \Rightarrow 9 \cdot 8 = 72$ — больше

Ответ: $\boxed{8}$

г) Решить неравенство

$$C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200$$

Шаг 1. Вычислим:

$$C_{19}^2 = \frac{19 \cdot 18}{2} = 171$$

Шаг 2. Формулы:

• $A_x^2 = x(x — 1)$
• $C_x^2 = \frac{x(x — 1)}{2}$

Сложим:

$$A_x^2 + C_x^2 = x(x — 1) + \frac{x(x — 1)}{2} = \frac{2x(x — 1)}{2} + \frac{x(x — 1)}{2} = \frac{3x(x — 1)}{2}$$

Неравенство:

$$171 < \frac{3x(x — 1)}{2} < 200$$

Шаг 3. Умножим всё на 2:

$$342 < 3x(x — 1) < 400$$

Шаг 4. Подбор:

• $x = 11 \Rightarrow 3 \cdot 11 \cdot 10 = 330$ — мало
• $x = 12 \Rightarrow 3 \cdot 12 \cdot 11 = 396$ — подходит
• $x = 13 \Rightarrow 3 \cdot 13 \cdot 12 = 468$ — больше

Ответ: $\boxed{12}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{15}$
б) $\boxed{5}$
в) $\boxed{8}$
г) $\boxed{12}$