ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

«Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся выбирать;

б) сколькими способами можно составить «бутерброд» из двух кусочков;

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать и съесть завтра и послезавтра, то из скольких вариантов придется выбирать;

г) сколько получится, если один кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос а)?

У вороны имеются кусочки:
сыра, брынзы, колбасы, сухарика и шоколада.

а) Всего способов съесть эти кусочки по очереди:
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$;
Ответ: 120.

б) Всего способов составить бутерброд из двух кусочков:
$C_2^5 = \frac{5 \cdot (5 — 1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 5 \cdot 2 = 10$;
Ответ: 10.

в) Всего способов съесть сразу три кусочка, а оставшиеся два кусочка съесть поочередно в следующие два дня:
$C_3^5 = \frac{5!}{3! \cdot (5 — 3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 5 \cdot 2 = 10$;
$P_2 = 2! = 2$;
$A = C_3^5 \cdot P_2 = 10 \cdot 2 = 20$;
Ответ: 20.

г) Если бросить один кусочек Лисе, а затем подсчитать число вариантов съесть оставшиеся четыре кусочка по очереди:
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$;
Ответ: 24.

У вороны есть 5 разных кусочков:
сыр, брынза, колбаса, сухарик и шоколад. Все они различны, то есть порядок и выбор имеют значение.

а) Если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся выбирать?

Это задача на перестановки всех 5 различных предметов.

Формула числа перестановок из $n$ различных элементов:

$$P_n = n!$$

Здесь $n = 5$, значит:

$$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$

Ответ: $\boxed{120}$

б) Сколькими способами можно составить «бутерброд» из двух кусочков?

Бутерброд составляется из двух различных кусочков, и порядок не важен
(бутерброд из сыра и колбасы — то же самое, что из колбасы и сыра).

Это задача на сочетания из 5 по 2 без учёта порядка.

Формула сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!}$$

Подставим:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$$

Ответ: $\boxed{10}$

в) Если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать и съесть завтра и послезавтра, то из скольких вариантов придется выбирать?

Разберем ситуацию поэтапно:

Выбор 3 кусочков, которые съедаются сразу.
Порядок здесь не важен, просто выбираем 3 из 5.
Это:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10$$

Оставшиеся 2 кусочка будут съедены по одному в следующие два дня.
Здесь порядок важен, потому что один будет съеден завтра, второй — послезавтра.
Число способов переставить 2 элемента:

$$P_2 = 2! = 2$$

Общее число вариантов:

$$C_5^3 \cdot P_2 = 10 \cdot 2 = 20$$

Ответ: $\boxed{20}$

г) Сколько получится, если один кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос а)?

То есть:

Ворона отдает один из 5 кусочков Лисе. Это можно сделать:

$$C_5^1 = 5 \quad \text{(или просто 5 способов выбрать один кусочек)}$$

После этого у неё остаётся 4 кусочка, которые она съедает по очереди.
Число всех перестановок из 4 элементов:

$$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ответ: $\boxed{24}$

Итоги:

а) 120
б) 10
в) 20
г) 24