ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Три клавиши из семи клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).

а) Найдите число всех возможных трезвучий.

б) Найдите число всех возможных аккордов.

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль.

г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот.

Три клавиши из семи одной октавы можно нажать одновременно (аккорд) или поочередно (трезвучие);

а) Число всех возможных трезвучий:

$$A_7^3 = \frac{7!}{(7 — 3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210;$$

Ответ: 210.

б) Число всех возможных аккордов:

$$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7 — 3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 7 \cdot 5 = 35;$$

Ответ: 35.

в) Число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль:
(Остается выбрать две ноты из шести оставшихся);

$$C_6^2 = \frac{6(6 — 1)}{2} = 3 \cdot 5 = 15;$$

Ответ: 15.

г) Число всех аккордов, в которых нет идущих подряд нот:

$$A = \left\{ \begin{array}{l} (\text{до, ми, соль});\ (\text{до, ми, ля});\ (\text{до, ми, си});\ (\text{до, фа, ля});\\ (\text{до, фа, си});\ (\text{до, соль, си});\ (\text{ре, фа, ля});\ (\text{ре, фа, си});\\ (\text{ре, соль, си});\ (\text{ми, соль, си}); \end{array} \right\} = 10;$$

Ответ: 10.

Рассмотрим 7 клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Нужно выбрать 3 ноты определённым образом:

а) Найдите число всех возможных трезвучий

Трезвучие — это поочерёдное нажатие трёх нот, то есть упорядоченное размещение 3 элементов из 7.
Здесь важен порядок, поэтому используем формулу размещений без повторений:

$$A_7^3 = \frac{7!}{(7 — 3)!} = \frac{7!}{4!}$$

Посчитаем:

$$A_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$$

Ответ: 210 трезвучий

б) Найдите число всех возможных аккордов

Аккорд — это одновременное звучание трёх нот, то есть неупорядоченное сочетание.
Здесь порядок не важен, используем формулу сочетаний:

$$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7 — 3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}$$

Распишем:

$$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{210}{6} = 35$$

Ответ: 35 аккордов

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль

У нас 7 нот: до, ре, ми, фа, соль, ля, си

Если аккорд содержит ноту соль, то нужно добавить к ней ещё 2 ноты, выбранные из оставшихся 6.

Это снова задача на сочетания без повторений, выбрать 2 ноты из 6:

$$C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot (6 — 2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Ответ: 15 аккордов, содержащих ноту соль

г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот

Здесь нужно найти все сочетания трёх нот, у которых никакие две не идут подряд.

Подход:

Всего аккордов (без учёта порядка):

$$C_7^3 = 35$$

Переберём вручную все тройки, где нет двух подряд идущих нот.
Это займёт немного времени, но так мы обеспечим точность.

Перечислим вручную подходящие тройки (как в образце из учебника):

$$\begin{align*} &(\text{до, ми, соль}), && (\text{до, ми, ля}), && (\text{до, ми, си}),\\ &(\text{до, фа, ля}), && (\text{до, фа, си}), && (\text{до, соль, си}),\\ &(\text{ре, фа, ля}), && (\text{ре, фа, си}), && (\text{ре, соль, си}),\\ &(\text{ми, соль, си}) \end{align*}$$

Проверим — действительно, в каждой тройке нет соседних нот (например, до и ре, ми и фа, и т.д. — не появляются одновременно).

Всего таких аккордов — 10.

Ответ: 10 аккордов, без идущих подряд нот

Итоги:

а) 210 — трезвучий (порядок важен)
б) 35 — аккордов (порядок не важен)
в) 15 — аккордов с нотой соль
г) 10 — аккордов без подряд идущих нот