ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Из колоды в 36 карт одновременно выбирают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов открытых карт;

б) число вариантов, при которых среди открытых карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все открытые карты пиковой масти;

г) число вариантов, при которых все открытые карты одной масти.

Из колоды в 36 карт одновременно выбирают 5 карт;

а) Число всех возможных вариантов открытых карт:

$$C_{36}^{5} = \frac{36!}{5!(36 — 5)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 31!};$$ $$C_{36}^{5} = 6 \cdot 7 \cdot 1122 \cdot 8 = 376\ 992;$$

Ответ: 376 992.

б) Вариантов, при которых среди открытых карт есть 4 туза:
(Остается выбрать одну карту из 32 оставшихся);

$$C_{32}^{1} = \frac{32!}{1!(32 — 1)!} = \frac{32 \cdot 31!}{1 \cdot 31!} = 32;$$

Ответ: 32.

в) Вариантов, при которых все открытые карты пиковой масти:
(Требуется выбрать пять карт из девяти карт данной масти);

$$C_{9}^{5} = \frac{9!}{5!(9 — 5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 9 \cdot 7 \cdot 2 = 126;$$

Ответ: 126.

г) Число вариантов, при которых все открытые карты одной масти:

$$C_{9}^{5} = \frac{9!}{5!(9 — 5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 9 \cdot 7 \cdot 2 = 126;$$ $$P = 4 \cdot C_{9}^{5} = 4 \cdot 126 = 504;$$

Ответ: 504.

Из колоды в 36 карт (играют в основном в русские карточные игры) одновременно выбирают 5 карт. В колоде 4 масти по 9 карт (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т).

а) Число всех возможных вариантов открытых карт

Здесь требуется выбрать любые 5 карт из 36, порядок не важен, карты не повторяются.

Это классическая задача на сочетания без повторений:

$$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36 — 5)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Считаем поэтапно:

Числитель:

$$36\cdot 35=1260$$

$$36 \cdot 35 = 1260$$ $$1260\cdot 34=42840$$

$$1260 \cdot 34 = 42840$$ $$42840\cdot 33=1413720$$

$$42840 \cdot 33 = 1\ 413\ 720$$ $$1\ 413\ 720 \cdot 32 = 45\ 239\ 040$$

Знаменатель:

$$5! = 120$$

Итак:

$$C_{36}^5 = \frac{45\ 239\ 040}{120} = 376\ 992$$

Ответ: 376 992 возможных комбинаций.

б) Число вариантов, при которых среди открытых карт есть 4 туза

В колоде 4 туза (по одному на каждую масть). Требуется выбрать 4 туза из 4 возможных — это единственный способ.

Остаётся одну карту добрать из 32 оставшихся (то есть из всех карт, кроме тузов).

Задача:

• выбрать 4 фиксированные карты (тузы)
• выбрать ещё 1 карту из 32

$$C_{32}^1 = 32$$

Ответ: 32 варианта.

в) Число вариантов, при которых все открытые карты пиковой масти

В колоде 36 карт по 4 масти по 9 карт. Значит, в каждой масти 9 карт, включая пики.

Требуется выбрать 5 карт из 9 пик.

Это задача на сочетания без повторений:

$$C_{9}^5 = \frac{9!}{5!(9 — 5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{3024}{24} = 126$$

Ответ: 126 комбинаций пиковых 5-карт.

г) Число вариантов, при которых все открытые карты одной масти

В предыдущем пункте мы нашли, что из 9 карт одной масти можно выбрать 5 разными способами — 126 вариантов.

А таких мастей в колоде 4: пики, черви, бубны, трефы.

Следовательно, общее количество вариантов:

$$P = 4 \cdot C_9^5 = 4 \cdot 126 = 504$$

Ответ: 504 способа выбрать 5 карт одной масти.