ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

За четверть в классе прошли 5 тем по алгебре. Для подготовки к контрольной работе составлено по 10 задач к каждой теме. На контрольной будет по одной задаче из каждой темы. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

На контрольной бюджет по одной задаче из 10, для каждой из 5 тем;
Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме;

а) Общее число всех вариантов контрольной работы:

$$P = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^5 = 100\ 000;$$

Ответ: 100 000.

б) Число вариантов, в которых ученик умеет решать все 5 задач:

$$P = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^5 = 32\ 768;$$

Ответ: 32 768.

в) Число вариантов, в которых ученик не может решить ничего:
(Выбор производится из оставшихся 2 задач по каждой теме);

$$P = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32;$$

Ответ: 32.

г) Вариантов, в которых ученик решит все задачи, кроме первой:

$$P = 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 2 \cdot 8^4 = 2 \cdot 4\ 096 = 8\ 192;$$

Ответ: 8 192.

Условие:

• Пройдено 5 тем.
• По каждой теме — 10 задач.
• На контрольной будет по одной задаче из каждой темы.
• Ученик умеет решать по 8 задач в каждой теме, а значит, 2 задачи в каждой теме он не умеет решать.

Нужно найти:

а) Общее число всех вариантов контрольной работы

Каждая контрольная состоит из 5 задач — по одной из каждой темы.

В каждой теме 10 возможных задач, которые могут быть выбраны независимо от других.

Значит, общее число всех вариантов:

$$P = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^5 = 100\,000$$

Ответ: 100 000 контрольных работ.

б) Число вариантов, в которых ученик умеет решать все 5 задач

Так как ученик умеет решать по 8 задач в каждой теме, то для того, чтобы он мог решить все задачи в контрольной, нужно, чтобы из каждой темы попалась одна из тех, что он умеет.

Вариантов задач, которые он умеет решать:

• В теме 1: 8 вариантов
• В теме 2: 8 вариантов
• В теме 3: 8 вариантов
• В теме 4: 8 вариантов
• В теме 5: 8 вариантов

Эти выборы также независимы.

$$P = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^5 = 32\,768$$

Ответ: 32 768 контрольных работ, которые он полностью сможет решить.

в) Число вариантов, в которых ученик не может решить ничего

Значит, из каждой темы в контрольной работе должна попасть задача, которую он не умеет решать.

По условию, в каждой теме он не умеет решать 2 задачи (10 всего – 8 умеет = 2 не умеет).

Значит:

• В теме 1: 2 задачи не умеет
• В теме 2: 2 задачи не умеет
• В теме 3: 2 задачи не умеет
• В теме 4: 2 задачи не умеет
• В теме 5: 2 задачи не умеет

Все выборы независимы:

$$P = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32$$

Ответ: 32 варианта, где ученик не сможет решить ни одной задачи.

г) Число вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой

Это означает:

• В теме 1: он не умеет решать — 2 варианта
• В темах 2, 3, 4, 5: он умеет решать — по 8 вариантов

Значит:

$$P = 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 2 \cdot 8^4$$

Рассчитаем:

$$8^2 = 64,\quad 8^3 = 512,\quad 8^4 = 4096$$ $$P = 2 \cdot 4096 = 8192$$

Ответ: 8 192 контрольных работы, где ученик умеет решить всё, кроме первой задачи.