ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой?

Несколько (n) человек обменялись рукопожатиями, всего было
от 60 до 70 рукопожатий, сколько всего было людей, если:

а) Каждый здоровался с каждым:

$$60<C_n^2<70;$$

$$60 < C^2_n < 70;$$ $$60<\frac{n(n-1)}{2}<70;$$

$$60 < \frac{n(n — 1)}{2} < 70;$$ $$120<n(n-1)<140;$$

$$120 < n(n — 1) < 140;$$ $$n = 12;$$

Ответ: 12.

б) Только один человек не здоровался ни с кем:

$$60<C_{n-1}^2<70;$$

$$60 < C^2_{n — 1} < 70;$$ $$60<\frac{(n-1)(n-2)}{2}<70;$$

$$60 < \frac{(n — 1)(n — 2)}{2} < 70;$$ $$120<n^2-2n-n+2<140;$$

$$120 < n^2 — 2n — n + 2 < 140;$$ $$118<n^2-3n<138;$$

$$118 < n^2 — 3n < 138;$$ $$118<n(n-3)<138;$$

$$118 < n(n — 3) < 138;$$ $$n = 13;$$

Ответ: 13.

в) Только двое не поздоровались между собой:

$$60<C_n^2-1<70;$$

$$60 < C^2_n — 1 < 70;$$ $$61<\frac{n(n-1)}{2}<71;$$

$$61 < \frac{n(n — 1)}{2} < 71;$$ $$122<n(n-1)<142;$$

$$122 < n(n — 1) < 142;$$ $$n = 12;$$

Ответ: 12.

г) Четверо поздоровались только между собой:

$$60<C_{n-4}^2+C_4^2<70;$$

$$60 < C^2_{n — 4} + C^2_4 < 70;$$ $$60<\frac{(n-4)(n-5)}{2}+\frac{4(4-1)}{2}<70;$$

$$60 < \frac{(n — 4)(n — 5)}{2} + \frac{4(4 — 1)}{2} < 70;$$ $$120<(n^2-5n-4n+20)+4\cdot 3<140;$$

$$120 < (n^2 — 5n — 4n + 20) + 4 \cdot 3 < 140;$$ $$120<n^2-9n+20+12<140;$$

$$120 < n^2 — 9n + 20 + 12 < 140;$$ $$88<n^2-9n<108;$$

$$88 < n^2 — 9n < 108;$$ $$88<n(n-9)<108;$$

$$88 < n(n — 9) < 108;$$ $$n = 15;$$

Ответ: 15.

а) Каждый здоровался с каждым

Это означает, что каждый из $n$ человек пожал руку каждому другому ровно один раз.
Число таких рукопожатий вычисляется по формуле сочетаний:

$$C_n^2 = \frac{n(n — 1)}{2}$$

Нам известно, что количество рукопожатий было от 60 до 70, то есть:

$$60 < \frac{n(n — 1)}{2} < 70 \Rightarrow 120 < n(n — 1) < 140$$

Подбором (или через уравнение) найдём:

$$n(n — 1) = 132 \Rightarrow n = 12$$

Проверка:

$$C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \in (60, 70)$$

Ответ: 12 человек

б) Только один человек не здоровался ни с кем

Значит, остальные $n — 1$ человек здоровались друг с другом:

$$C_{n — 1}^2 = \frac{(n — 1)(n — 2)}{2}$$

Тогда:

$$60 < \frac{(n — 1)(n — 2)}{2} < 70 \Rightarrow 120 < (n — 1)(n — 2) < 140$$

Пробуем:

$$(n — 1)(n — 2) = 132 \Rightarrow n — 1 = 12 \Rightarrow n = 13$$

Проверка:

$$C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \in (60, 70)$$

Ответ: 13 человек

в) Только двое не поздоровались между собой

В этом случае все остальные рукопожатия состоялись, кроме одной:

$$C_n^2-1\in (60,70)\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}-1\in (60,70)\Rightarrow$$

$$C_n^2 — 1 \in (60, 70) \Rightarrow \frac{n(n — 1)}{2} — 1 \in (60, 70) \Rightarrow \frac{n(n — 1)}{2} \in (61, 71) \Rightarrow n(n — 1) \in (122, 142)$$

Пробуем:

$$n = 12 \Rightarrow \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \Rightarrow 66 — 1 = 65 \in (60, 70)$$

Ответ: 12 человек

г) Четверо поздоровались только между собой

Значит, эти 4 человека обменялись только между собой, то есть:

$$C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \text{ рукопожатий}$$

Остальные $n — 4$ человек также поздоровались друг с другом:

$$C_{n — 4}^2 = \frac{(n — 4)(n — 5)}{2}$$

Общее число:

$$\frac{(n-4)(n-5)}{2}+6\in (60,70)\Rightarrow (n-4)(n-5)+12\in (120,140)\Rightarrow$$

$$\frac{(n — 4)(n — 5)}{2} + 6 \in (60, 70) \Rightarrow (n — 4)(n — 5) + 12 \in (120, 140) \Rightarrow (n — 4)(n — 5) \in (108, 128)$$

Пробуем:

$$n = 15 \Rightarrow (15 — 4)(15 — 5) = 11 \cdot 10 = 110 \Rightarrow 110 + 6 = 116$$

Это вне диапазона. Пробуем:

$$n = 16 \Rightarrow (12 \cdot 11) = 132 \Rightarrow 132 + 6 = 138 \Rightarrow подходит$$

Но в предыдущ вычислении мы использовали уравнение с 66 → там:

$$(n — 4)(n — 5)/2 + 6 = 66 \Rightarrow (n — 4)(n — 5) = 120 \Rightarrow n = 15$$

Проверка:

$$(15 — 4)(15 — 5)/2 + 6 = 11 \cdot 10 / 2 + 6 = 55 + 6 = 61 \in (60, 70)$$

Ответ: 15 человек

Итоговые ответы:

а) 12 человек

б) 13 человек

в) 12 человек

г) 15 человек