ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Найдите количество возможных вариантов билета.

б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на вопросы?

На экзамене будет 3 вопроса из 20, ученик выучил 12 вопросов,
5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет;

а) Количество возможных вариантов билета:
$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20 — 3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{3 \cdot 2 \cdot 17!} = 10 \cdot 19 \cdot 6 = 1140;$
Ответ: 1140.

б) Вариантов, в которых ученик знает ответы на все вопросы:
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12 — 3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3 \cdot 2 \cdot 9!} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220;$
Ответ: 220.

в) Вариантов, в которых есть вопросы всех трех типов:
$P = 12 \cdot 5 \cdot (20 — 12 — 5) = 60 \cdot 3 = 180;$
Ответ: 180.

г) Вариантов, в которых ученик выучил большинство ответов:
(Должны быть выучены все 3 вопроса или 2 вопроса должны
быть из 12 выученных, а последний — любым из 8 оставшихся);
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12 — 3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{3 \cdot 2 \cdot 9!} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220;$
$C_{12}^2 = \frac{12 \cdot (12 — 1)}{2} = 6 \cdot 11 = 66;$
$P = C_{12}^3 + C_{12}^2 \cdot 8 = 220 + 528 = 748;$
Ответ: 748.

Условие:

• Всего экзаменационных вопросов — 20.
• Ученик:
  • 12 вопросов выучил — знает на 100%.
  • 5 вопросов — совсем не смотрел, не знает.
  • Остальные 3 — знает частично.
• В билете — 3 вопроса, выбираются одновременно (без учёта порядка).

а) Сколько существует всего возможных билетов?

Нужно выбрать 3 любых вопроса из 20. Это классическая задача на сочетания без повторений:

$$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Считаем:

• В числителе: $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$
• В знаменателе: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

$$C_{20}^3 = \frac{6840}{6} = 1140$$

Ответ: 1140 вариантов — общее число возможных билетов.

б) Сколько билетов, в которых ученик знает все вопросы?

Из 12 выученных вопросов нужно выбрать любые 3:

$$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$$

Здесь:

• 12 — общее число выученных вопросов.
• Порядок в билете не важен → применяем формулу сочетаний.

Ответ: 220 билетов, в которых все 3 вопроса — выучены.

в) Сколько билетов, в которых есть вопросы всех трёх типов?

То есть в билете:

• Один выученный вопрос (из 12),
• Один невыученный (из 5),
• Один частично знакомый (из 3).

Нам нужно выбрать по одному вопросу из каждой группы. Это делается по правилу произведения:

$$12 \cdot 5 \cdot 3 = 180$$

Объяснение:

• 12 способов выбрать выученный вопрос,
• 5 способов выбрать невыученный,
• 3 способа выбрать частичный.

Порядок не важен, но в данной конструкции каждая тройка (например, вопрос №1 — выученный, №2 — невыученный, №3 — частичный) считается уникальной, т.к. комбинации разных вопросов создают разные билеты.

Ответ: 180 билетов, в которых встречаются вопросы всех трёх типов.

г) Сколько билетов, где ученик знает большинство вопросов?

Большинство из 3 — это 2 или 3.

Случай 1: Все 3 вопроса — выучены

Это мы уже считали в пункте (б):

$$C_{12}^3 = 220$$

Случай 2: 2 выученных + 1 другой

• Выбираем 2 из 12:

$$C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$$

• 1 вопрос берём любой из остальных 8:
  • 5 невыученных
  • 3 частично знакомых

$$66 \cdot 8 = 528$$

Общее количество таких билетов:

$$220 + 528 = 748$$

Ответ: 748 билетов, в которых ученик знает большинство вопросов (2 или 3).