ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В шахматном зале — 5 столов. Для проведения игры за каждый стол садится по одному шахматисту из двух встречающихся команд. В каждой команде 5 шахматистов.

а) Найдите число всех возможных составов матча (Иванов — Петров, Сидоров — Каспаров и т. д.).

б) То же, но для двух независимо проводимых матчей.

в) То же, но если во втором матче за тремя выбранными столами играют по три лучших шахматиста из каждой команды.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

Две команды, состоящие из пяти человек, участвуют в турнире:

а) Число всех возможных составов матча:
(Игроки первой команды рассаживаются за столы, после этого требуется рассадить пять игроков второй команды на пять мест);
P₅ = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120;
Ответ: 120.

б) То же, но для двух независимо проводимых матчей:
P₅ = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120;
P = P₅ · P₅ = 120² = 14 400;
Ответ: 14 400.

в) То же, но если во втором матче играют только по три лучших шахматиста из каждой команды:
P₅ = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120;
P₃ = 3! = 3 · 2 = 6;
P = P₅ · P₃ = 120 · 6 = 720;
Ответ: 720.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой:
(Остается определить состав для оставшихся четырех столов);
P₅ = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 = 120;
P₄ = 4! = 4 · 3 · 2 = 24;
P = P₅ · P₄ = 120 · 24 = 2 880;
Ответ: 2 880.

а) Найдите число всех возможных составов одного матча

Цель: Посчитать, сколько различных вариантов провести матч (кто с кем играет за каждым из 5 столов).

Шаг 1. Зафиксируем расстановку первой команды

Мы можем зафиксировать порядок игроков первой команды, например:

• Стол 1: Игрок A1
• Стол 2: Игрок A2
• Стол 3: Игрок A3
• Стол 4: Игрок A4
• Стол 5: Игрок A5

(Это упрощение, поскольку выбор стола для игроков первой команды не влияет на общее количество комбинаций — можно считать, что они уже сидят.)

Шаг 2. Варианты рассадки второй команды

У второй команды тоже 5 человек.
Они должны рассесться по столам — то есть, определиться, кто будет играть с кем.
Это просто перестановка 5 игроков на 5 мест.

Количество таких перестановок:
P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Итог:

Всего 120 различных составов матчей между двумя командами из 5 человек.

Ответ: 120

б) То же, но для двух независимо проводимых матчей

Цель: Посчитать, сколько всего возможных пар составов для двух матчей, если они независимы.

Шаг 1. Первый матч

Как мы уже посчитали:
P₅ = 5! = 120 вариантов

Шаг 2. Второй матч (независимый)

Поскольку второй матч проводится независимо, у него тоже 120 возможных составов.

Шаг 3. Общее число пар матчей

Пары матчей (первый и второй) можно выбрать как произведение:
P = P₅ × P₅ = 120 × 120 = 14 400

Ответ: 14 400

в) То же, но если во втором матче за тремя выбранными столами играют по три лучших шахматиста из каждой команды

Цель: Второй матч — играют только по 3 лучших шахматиста из каждой команды, и только на 3 столах.

Шаг 1. Первый матч — как обычно

P₅ = 5! = 120

Шаг 2. Второй матч — только по 3 шахматиста

• Из каждой команды берутся по 3 игрока.
• Эти три игрока рассаживаются по 3 столам.
• Первый состав (предположим, фиксирован), тогда второй должен распределиться по 3 местам.

Перестановка 3 игроков:
P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Шаг 3. Общее число пар матчей

P = P₅ × P₃ = 120 × 6 = 720

Ответ: 720

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой

Условие:

• Всего снова два матча.
• Во втором матче капитаны обязательно играют друг с другом за одним столом.
• Остальные 4 игрока из каждой команды рассаживаются по 4 оставшимся столам.

Шаг 1. Первый матч

Обычное распределение:
P₅ = 5! = 120

Шаг 2. Второй матч

• Капитаны уже заняли 1 стол друг напротив друга → фиксированы.
• Осталось 4 игрока с каждой стороны.
• Их нужно рассадить на оставшиеся 4 стола.

Перестановка из 4 игроков:
P₄ = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Шаг 3. Общее число пар матчей

P = P₅ × P₄ = 120 × 24 = 2 880

Ответ: 2 880