ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре из премьерной оперы 5 мужских и 3 женские партии.

а) Сколько существует различных составов хора?

б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.

В театре есть 10 певцов и 8 певиц;
В хоре из оперы есть 5 мужских и 3 женских партии.

а) Вариантов различных составов хора:

$$C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! \cdot (10 — 5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252;$$ $$C_{8}^{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8 — 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 5!} = 8 \cdot 7 = 56;$$ $$P = C_{10}^{5} \cdot C_{8}^{3} = 252 \cdot 56 = 14\,112;$$

Ответ: 14 112.

б) То же, но если известно, что певцы А и Б не будут петь вместе:
(Исключаются варианты, в которых эти два певца уже выбраны
и осталось выбрать ещё трёх певцов из восьми оставшихся):

$$C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! \cdot (10 — 5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252;$$ $$C_{8}^{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8 — 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 5!} = 8 \cdot 7 = 56;$$ $$P = (C_{10}^{5} — C_{8}^{3}) \cdot C_{8}^{3} = (252 — 56) \cdot 56 = 196 \cdot 56 = 10\,976;$$

Ответ: 10 976.

в) То же, но если певец А будет петь только с певицей В:
(Если А и В выбраны, то остаётся выбрать 4 певцов из 9 и 2 певиц из 7,
иначе нужно выбрать 5 певцов из 9 и 3 певиц из 7 оставшихся):

$$C_{9}^{4} = C_{9}^{5} = \frac{9!}{5! \cdot (9 — 5)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126;$$ $$C_{7}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21; \quad C_{7}^{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35;$$ $$P = C_{9}^{4} \cdot C_{7}^{2} + C_{9}^{5} \cdot C_{7}^{3} = 126 \cdot 21 + 126 \cdot 35 = 126 \cdot 56 = 7\,056;$$

Ответ: 7 056.

г) То же, но если 6 певцов не смогут петь и одной певице придётся
исполнять мужскую партию:
(Остаётся 4 певца, все они будут петь, значит на мужскую часть
остаётся выбрать одну певицу из восьми, а на женскую часть
остаётся выбрать 3 певиц из 7 оставшихся):

$$C_{8}^{1} = \frac{8!}{1! \cdot (8 — 1)!} = \frac{8 \cdot 7!}{1 \cdot 7!} = 8;$$ $$C_{7}^{3} = \frac{7!}{3! \cdot (7 — 3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35;$$ $$P = C_{8}^{1} \cdot C_{7}^{3} = 8 \cdot 35 = 280;$$

Ответ: 280.

В театре есть:

• 10 певцов (мужчин),
• 8 певиц (женщин).

В хоре из оперы нужно:

• 5 мужских партий,
• 3 женских партии.

а) Сколько существует различных составов хора?

Шаг 1: Выбор 5 певцов из 10

Порядок в выборе не важен, роли распределены по типу (мужские и женские партии), но не по конкретным певцам.
Используем формулу сочетаний:

$$C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! \cdot (10 — 5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!}$$

Распишем только числитель и знаменатель:

$$= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$$ $$= \frac{30240}{120} = 252$$

Шаг 2: Выбор 3 певиц из 8

$$C_{8}^{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8 — 3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56$$

Шаг 3: Общее количество составов хора

$$P = C_{10}^{5} \cdot C_{8}^{3} = 252 \cdot 56 = 14\,112$$

Ответ: 14 112

б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе

Это значит, что нам нужно исключить те варианты, в которых оба певца А и Б одновременно участвуют в составе хора.

Шаг 1: Общее количество составов хора (без ограничений)

Уже посчитано:

$$C_{10}^{5} = 252, \quad C_{8}^{3} = 56 \Rightarrow P_{\text{всего}} = 252 \cdot 56 = 14\,112$$

Шаг 2: Найдём число «запрещённых» составов (где и А, и Б участвуют)

Если А и Б участвуют, то они занимают 2 из 5 мужских партий.
Осталось выбрать ещё 3 певцов из оставшихся 8 (10 − 2):

$$C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$$

Женская часть хора по-прежнему выбирается:

$$C_{8}^{3} = 56$$

Итак, количество «запрещённых» составов:

$$P_{\text{запрещённые}} = C_{8}^{3} \cdot C_{8}^{3} = 56 \cdot 56 = 3\,136$$

Шаг 3: Вычитаем эти составы

$$P = P_{\text{всего}} — P_{\text{запрещённые}} = 14\,112 — 3\,136 = 10\,976$$

Ответ: 10 976

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В

Фраза «тогда и только тогда» означает логическую эквивалентность:

• Если А участвует, то и В участвует;
• Если В участвует, то и А участвует.

Это даёт два случая:

Случай 1: А и В оба участвуют

Тогда:

• Осталось выбрать 4 певцов из 9 (10 − А):

$$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126$$

• Осталось выбрать 2 певиц из 7 (8 − В):

$$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$$

Число составов в этом случае:

$$P_1 = 126 \cdot 21 = 2\,646$$

Случай 2: А и В оба не участвуют

Тогда:

• Надо выбрать 5 певцов из 9 (без А):

$$C_9^5 = C_9^4 = 126$$

• Надо выбрать 3 певиц из 7 (без В):

$$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

Число составов:

$$P_2 = 126 \cdot 35 = 4\,410$$

Суммарное количество подходящих составов:

$$P = P_1 + P_2 = 2\,646 + 4\,410 = 7\,056$$

Ответ: 7 056

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию

Если 6 певцов не могут петь, значит остались только 4 певца.
А мужских партий — 5, значит одну мужскую партию должна исполнить певица.
Таким образом:

• Все 4 оставшихся певца обязаны участвовать.
  Число способов выбрать 4 из 4:

$$C_4^4 = 1$$

• Одну из 8 певиц надо выбрать на мужскую партию:

$$C_8^1 = 8$$

• Из оставшихся 7 певиц нужно выбрать 3 для женских партий:

$$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

Общее число составов хора:

$$P = C_4^4 \cdot C_8^1 \cdot C_7^3 = 1 \cdot 8 \cdot 35 = 280$$

Ответ: 280