ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколькими нулями оканчивается число:

а) 10!;

б) 15!;

в) 26!;

г) 100!?

Сколькими нулями оканчивается число:

Числа, кратные $5^1$ при умножении на $2^n$ дают число с одним нулем, а
числа, кратные $5^2$ при умножении на $4^n$ дают число с двумя нулями;
Так как количество чисел, кратных 5 или 25, меньше, чем количество
чисел, кратных 2 или 4, то будем считать только их;

а) $10!$
$5^1 = \{10; 5\} = 2;$
$5^2 = \{—\} = 0;$
$A = 2 + 0 = 2;$
Ответ: 2 нуля.

б) $15!$
$5^1 = \{15; 10; 5\} = 3;$
$5^2 = \{—\} = 0;$
$A = 3 + 0 = 3;$
Ответ: 3 нуля.

в) $26!$
$5^1 = \{25; 20; 15; 10; 5\} = 5;$
$5^2 = \{25\} = 1;$
$A = 5 + 1 = 6;$
Ответ: 6 нулей.

г) $100!$
$5^1 = 100 : 5 = 20;$
$5^2 = \{100; 75; 50; 25\} = 4;$
$A = 20 + 4 = 24;$
Ответ: 24 нуля.

Сколькими нулями оканчивается факториал $n!$?

Рассматриваем, сколько нулей в конце числа $n!$, то есть, сколько раз в разложении на множители встречается число 10.
Поскольку $10 = 2 \cdot 5$, и в $n!$ всегда больше двоек, чем пятёрок, то число нулей определяется количеством множителей 5.

Обозначим:

$$Z(n) = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots$$

То есть, мы считаем:

• сколько чисел делятся на $5^1$,
• сколько на $5^2$,
• сколько на $5^3$, и т.д.,
  пока $5^k \leq n$.

а) $10!$

$$\lfloor \frac{10}{5}\rfloor =2(\text{числа: 5, 10})$$

$$\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2 \quad (\text{числа: 5, 10})$$ $$\lfloor \frac{10}{25}\rfloor =0(\text{нет таких})$$

$$\left\lfloor \frac{10}{25} \right\rfloor = 0 \quad (\text{нет таких})$$ $$Z(10) = 2 + 0 = 2$$

Ответ: 2 нуля

б) $15!$

$$\lfloor \frac{15}{5}\rfloor =3(\text{числа: 5, 10, 15})$$

$$\left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3 \quad (\text{числа: 5, 10, 15})$$ $$\lfloor \frac{15}{25}\rfloor =0(\text{нет таких})$$

$$\left\lfloor \frac{15}{25} \right\rfloor = 0 \quad (\text{нет таких})$$ $$Z(15) = 3 + 0 = 3$$

Ответ: 3 нуля

в) $26!$

$$\lfloor \frac{26}{5}\rfloor =5(\text{числа: 5, 10, 15, 20, 25})$$

$$\left\lfloor \frac{26}{5} \right\rfloor = 5 \quad (\text{числа: 5, 10, 15, 20, 25})$$ $$\lfloor \frac{26}{25}\rfloor =1(\text{число: 25})$$

$$\left\lfloor \frac{26}{25} \right\rfloor = 1 \quad (\text{число: 25})$$ $$\lfloor \frac{26}{125}\rfloor =0$$

$$\left\lfloor \frac{26}{125} \right\rfloor = 0$$ $$Z(26) = 5 + 1 = 6$$

Ответ: 6 нулей

г) $100!$

$$\lfloor \frac{100}{5}\rfloor =20(\text{каждое 5-е число})$$

$$\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20 \quad (\text{каждое 5-е число})$$ $$\lfloor \frac{100}{25}\rfloor =4(\text{25, 50, 75, 100})$$

$$\left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4 \quad (\text{25, 50, 75, 100})$$ $$\lfloor \frac{100}{125}\rfloor =0$$

$$\left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 0$$ $$Z(100) = 20 + 4 = 24$$

Ответ: 24 нуля

Общий вывод:

Чтобы найти количество конечных нулей в $n!$, нужно:

1. Разделить $n$ на 5, 25, 125, и т.д.
2. Сложить целые части от этих делений.
3. Полученная сумма — количество нулей на конце числа $n!$.