ГДЗ 10-11 Класс Номер 52.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В правильном 17-угольнике провели все стороны и все диагонали.

а) Сколько всего провели отрезков?

б) Сколько провели сторон?

в) Сколько провели диагоналей?

г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от 17-угольника?

В правильном 17-угольнике провели все стороны и все диагонали:

а) Общее количество отрезков:
(Каждая из 17 вершин должна быть соединена с любой другой);
$C_{17}^2 = \dfrac{17(17 — 1)}{2} = \dfrac{17 \cdot 16}{2} = 17 \cdot 8 = 136$;
Ответ: 136.

б) Общее число сторон равно количеству вершин, то есть 17;
Ответ: 17.

в) Общее число диагоналей:
$C_{17}^2 = \dfrac{17(17 — 1)}{2} = 17 \cdot 8 = 136$;
$P = C_{17}^2 — 17 = 136 — 17 = 119$;
Ответ: 119.

г) Общее число диагоналей, которые отсекают треугольник:
(Каждая из 17 вершин соединяется с двумя, лежащими через одну вершину от нее,
при этом каждый отрезок будет проведен дважды);
$P = \dfrac{17 \cdot 2}{2} = 17$;
Ответ: 17.

Рассматриваем правильный 17-угольник (семнадцатиугольник), у которого:

• 17 вершин, обозначим их как $A_1, A_2, \dots, A_{17}$
• Все стороны и все диагонали проведены

а) Сколько всего провели отрезков?

Каждый отрезок — это соединение двух разных вершин.
Всего 17 вершин — нужно посчитать, сколько существует пар из 2 вершин.

Это — задача на сочетания:

$$\text{Общее количество отрезков} = C_{17}^2 = \frac{17 \cdot (17 — 1)}{2} = \frac{17 \cdot 16}{2} = 136$$

Каждая пара вершин — это или сторона, или диагональ. Все учтены.

Ответ: 136

б) Сколько провели сторон?

По определению, правильный 17-угольник имеет 17 сторон, потому что он имеет 17 последовательных вершин, и каждая соединяется с соседней.

Отрезки:

• $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{16}A_{17}, A_{17}A_1$

Всего: 17 отрезков

Ответ: 17

в) Сколько провели диагоналей?

Диагонали — это отрезки, соединяющие две несоседние вершины.
То есть, все отрезки между вершинами, за исключением сторон.

Итак:

• Общее количество отрезков: 136 (из пункта а)
• Количество сторон: 17 (из пункта б)

$$\text{Число диагоналей} = 136 — 17 = 119$$

Или альтернативно, по формуле:

$$\text{Число диагоналей в n-угольнике} = \frac{n(n — 3)}{2}$$

Для $n = 17$:

$$\frac{17 \cdot 14}{2} = \frac{238}{2} = 119$$

Ответ: 119

г) Сколько диагоналей отсекают треугольник от 17-угольника?

Здесь речь идет о диагоналях, которые соединяют вершины через одну,
то есть, отсекают треугольник, не деля многоугольник пополам.

Пояснение:

• Если соединить вершину $A_i$ с $A_{i+2}$, то получится треугольник: $A_i, A_{i+1}, A_{i+2}$
• Такие диагонали называются соседними через одну
• У каждой вершины есть ровно 2 такие диагонали:
  • Одна по часовой стрелке, другая — против

Но! Если посчитать так для всех 17 вершин:

$$17 \cdot 2 = 34 \quad \text{(всего таких соединений)}$$

Но каждая диагональ считается дважды — один раз от каждой вершины.

$$\text{Итоговое количество таких диагоналей} = \frac{34}{2} = 17$$

Пример:

• $A_1A_3$, $A_2A_4$, …, $A_{17}A_2$ — всего 17 таких диагоналей, которые отсекают треугольник.

Ответ: 17

Итоги:

а) 136 отрезков
б) 17 сторон
в) 119 диагоналей
г) 17 диагоналей, отсекающих треугольник