ГДЗ Мордкович 10-11 Класс Алгебра И Начала Математического Анализа Задачник 📕 — Все Части

Алгебра

10-11 класс задачник алгебра и начала математического анализа Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.

ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Раскройте скобки в выражении:

а) $(x + 1)^{7}$

б) $(2 x - y)^{6}$

в) $(x^{2} + 2)^{5}$

г) $(1 - x^{3})^{4}$

Краткий ответ:

а) $(x + 1)^{7} = C_{7}^{0} \cdot x^{7} + C_{7}^{1} \cdot x^{6} \cdot 1 + C_{7}^{2} \cdot x^{5} \cdot 1^{2} + C_{7}^{3} \cdot x^{4} \cdot 1^{3} +$

$+ C_{7}^{4} \cdot x^{3} \cdot 1^{4} + C_{7}^{5} \cdot x^{2} \cdot 1^{5} + C_{7}^{6} \cdot x \cdot 1^{6} + C_{7}^{7} \cdot 1^{7};$

Биномиальные коэффициенты:
$C_{7}^{0} = C_{7}^{7} = 1;$
$C_{7}^{1} = C_{7}^{6} = 7;$
$C_{7}^{2} = C_{7}^{5} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 5!} = 21;$
$C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 4!} = 35;$

Искомый многочлен:
$(x + 1)^{7} = x^{7} + 7 x^{6} + 21 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} + 21 x^{2} + 7 x + 1;$

б) $(2 x - y)^{6} = C_{6}^{0} \cdot (2 x)^{6} + C_{6}^{1} \cdot (2 x)^{5} \cdot (- y) + C_{6}^{2} \cdot (2 x)^{4} \cdot (- y)^{2} +$

$+ C_{6}^{3} \cdot (2 x)^{3} \cdot (- y)^{3} + C_{6}^{4} \cdot (2 x)^{2} \cdot (- y)^{4} + C_{6}^{5} \cdot 2 x \cdot (- y)^{5} + C_{6}^{6} \cdot (- y)^{6};$

Биномиальные коэффициенты:
$C_{6}^{0} = C_{6}^{6} = 1;$
$C_{6}^{1} = C_{6}^{5} = 6;$
$C_{6}^{2} = C_{6}^{4} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 4!} = 15;$
$C_{6}^{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3 \cdot 2 \cdot 3!} = 20;$

Искомый многочлен:
$(2 x - y)^{6} = 1 \cdot 64 x^{6} - 6 \cdot 32 x^{5} \cdot y + 15 \cdot 16 x^{4} \cdot y^{2} - 20 \cdot 8 x^{3} \cdot y^{3} +$

$+ 15 \cdot 4 x^{2} \cdot y^{4} - 6 \cdot 2 x \cdot y^{5} + 1 \cdot y^{6} =$

$= 64 x^{6} - 192 x^{5} y + 240 x^{4} y^{2} - 160 x^{3} y^{3} + 60 x^{2} y^{4} - 12 x y^{5} + y^{6};$

в) $(x^{2} + 2)^{5} = C_{5}^{0} \cdot (x^{2})^{5} + C_{5}^{1} \cdot (x^{2})^{4} \cdot 2 + C_{5}^{2} \cdot (x^{2})^{3} \cdot 2^{2} +$

$+ C_{5}^{3} \cdot (x^{2})^{2} \cdot 2^{3} + C_{5}^{4} \cdot x^{2} \cdot 2^{4} + C_{5}^{5} \cdot 2^{5};$

Биномиальные коэффициенты:
$C_{5}^{0} = C_{5}^{5} = 1;$
$C_{5}^{1} = C_{5}^{4} = 5;$
$C_{5}^{2} = C_{5}^{3} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 10;$

Искомый многочлен:
$(x^{2} + 2)^{5} = 1 \cdot x^{10} + 5 \cdot x^{8} \cdot 2 + 10 \cdot x^{6} \cdot 4 + 10 \cdot x^{4} \cdot 8 + 5 \cdot x^{2} \cdot 16 +$

$+ 1 \cdot 32 = x^{10} + 10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + 32;$

г) $(1 - x^{3})^{4} = C_{4}^{0} \cdot 1^{4} + C_{4}^{1} \cdot 1^{3} \cdot (- x^{3}) + C_{4}^{2} \cdot 1^{2} \cdot (- x^{3})^{2} +$

$+ C_{4}^{3} \cdot 1 \cdot (- x^{3})^{3} + C_{4}^{4} \cdot (- x^{3})^{4};$

Биномиальные коэффициенты:
$C_{4}^{0} = C_{4}^{4} = 1;$
$C_{4}^{1} = C_{4}^{3} = 4;$
$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 2!} = 6;$

Искомый многочлен:
$(1 - x^{3})^{4} = 1 - 4 x^{3} + 6 x^{6} - 4 x^{9} + x^{12}$

Подробный ответ:

а) Раскрыть скобки:

$(x + 1)^{7}$

Шаг 1: Формула бинома Ньютона

Формула:

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

В нашем случае:

$a = x$
$b = 1$
$n = 7$

Значит:

$(x + 1)^{7} = \sum_{k = 0}^{7} C_{7}^{k} \cdot x^{7 - k} \cdot 1^{k}$

Шаг 2: Вычисляем каждый член суммы

k = 0:

$C_{7}^{0} = 1, x^{7 - 0} = x^{7}, 1^{0} = 1 \Rightarrow 1 \cdot x^{7} \cdot 1 = x^{7}$

k = 1:

$C_{7}^{1} = 7, x^{6}, 1^{1} = 1 \Rightarrow 7 \cdot x^{6} \cdot 1 = 7 x^{6}$

k = 2:

$C_{7}^{2} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 \Rightarrow 21 \cdot x^{5} \cdot 1 = 21 x^{5}$

k = 3:

$C_{7}^{3} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35 \Rightarrow 35 x^{4}$

k = 4:

$C_{7}^{4} = C_{7}^{3} = 35 \Rightarrow 35 x^{3}$

k = 5:

$C_{7}^{5} = C_{7}^{2} = 21 \Rightarrow 21 x^{2}$

k = 6:

$C_{7}^{6} = C_{7}^{1} = 7 \Rightarrow 7 x$

k = 7:

$C_{7}^{7} = 1 \Rightarrow 1$

Ответ:

$(x + 1)^{7} = x^{7} + 7 x^{6} + 21 x^{5} + 35 x^{4} + 35 x^{3} + 21 x^{2} + 7 x + 1$

б) Раскрыть скобки:

$(2 x - y)^{6}$

Шаг 1: Формула бинома Ньютона

$(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

Здесь:

$a = 2 x$
$b = - y$
$n = 6$

$(2 x - y)^{6} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} \cdot (2 x)^{6 - k} \cdot (- y)^{k}$

Шаг 2: Вычисляем каждый член

k = 0:

$C_{6}^{0} = 1, (2 x)^{6} = 64 x^{6}, (- y)^{0} = 1 \Rightarrow 1 \cdot 64 x^{6} \cdot 1 = 64 x^{6}$

k = 1:

$C_{6}^{1} = 6, (2 x)^{5} = 32 x^{5}, (- y)^{1} = - y \Rightarrow 6 \cdot 32 x^{5} \cdot (- y) = - 192 x^{5} y$

k = 2:

$C_{6}^{2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \Rightarrow (2 x)^{4} = 16 x^{4}, (- y)^{2} = y^{2} \Rightarrow 15 \cdot 16 x^{4} \cdot y^{2} = 240 x^{4} y^{2}$

k = 3:

$C_{6}^{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20 \Rightarrow (2 x)^{3} = 8 x^{3}, (- y)^{3} = - y^{3} \Rightarrow$

$20 \cdot 8 x^{3} \cdot (- y^{3}) = - 160 x^{3} y^{3}$

k = 4:

$C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = 15, (2 x)^{2} = 4 x^{2}, (- y)^{4} = y^{4} \Rightarrow 15 \cdot 4 x^{2} \cdot y^{4} = 60 x^{2} y^{4}$

k = 5:

$C_{6}^{5} = C_{6}^{1} = 6, (2 x)^{1} = 2 x, (- y)^{5} = - y^{5} \Rightarrow 6 \cdot 2 x \cdot (- y^{5}) = - 12 x y^{5}$

k = 6:

$C_{6}^{6} = 1, (2 x)^{0} = 1, (- y)^{6} = y^{6} \Rightarrow 1 \cdot 1 \cdot y^{6} = y^{6}$

Ответ:

$(2 x - y)^{6} = 64 x^{6} - 192 x^{5} y + 240 x^{4} y^{2} - 160 x^{3} y^{3} + 60 x^{2} y^{4} - 12 x y^{5} + y^{6}$

в) Раскрыть скобки:

$(x^{2} + 2)^{5}$

Шаг 1: Формула бинома Ньютона

$(x^{2} + 2)^{5} = \sum_{k = 0}^{5} C_{5}^{k} \cdot (x^{2})^{5 - k} \cdot 2^{k}$

Шаг 2: Расчёты по членам

k = 0:

$C_{5}^{0} = 1, (x^{2})^{5} = x^{10}, 2^{0} = 1 \Rightarrow x^{10}$

k = 1:

$C_{5}^{1} = 5, (x^{2})^{4} = x^{8}, 2^{1} = 2 \Rightarrow 5 \cdot x^{8} \cdot 2 = 10 x^{8}$

k = 2:

$C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10, (x^{2})^{3} = x^{6}, 2^{2} = 4 \Rightarrow 10 \cdot x^{6} \cdot 4 = 40 x^{6}$

k = 3:

$C_{5}^{3} = 10, (x^{2})^{2} = x^{4}, 2^{3} = 8 \Rightarrow 10 \cdot x^{4} \cdot 8 = 80 x^{4}$

k = 4:

$C_{5}^{4} = 5, x^{2}, 2^{4} = 16 \Rightarrow 5 \cdot x^{2} \cdot 16 = 80 x^{2}$

k = 5:

$C_{5}^{5} = 1, (x^{2})^{0} = 1, 2^{5} = 32 \Rightarrow 1 \cdot 1 \cdot 32 = 32$

Ответ:

$(x^{2} + 2)^{5} = x^{10} + 10 x^{8} + 40 x^{6} + 80 x^{4} + 80 x^{2} + 32$

г) Раскрыть скобки:

$(1 - x^{3})^{4}$

Шаг 1: Применяем бинома Ньютона

$(1 - x^{3})^{4} = \sum_{k = 0}^{4} C_{4}^{k} \cdot 1^{4 - k} \cdot (- x^{3})^{k}$

Шаг 2: Вычисления

k = 0:

$C_{4}^{0} = 1, 1^{4} = 1, (- x^{3})^{0} = 1 \Rightarrow 1$

k = 1:

$C_{4}^{1} = 4, 1^{3} = 1, (- x^{3})^{1} = - x^{3} \Rightarrow 4 \cdot (- x^{3}) = - 4 x^{3}$

k = 2:

$C_{4}^{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6, (- x^{3})^{2} = x^{6} \Rightarrow 6 x^{6}$

k = 3:

$C_{4}^{3} = 4, (- x^{3})^{3} = - x^{9} \Rightarrow - 4 x^{9}$

k = 4:

$C_{4}^{4} = 1, (- x^{3})^{4} = x^{12} \Rightarrow x^{12}$

Ответ:

$(1 - x^{3})^{4} = 1 - 4 x^{3} + 6 x^{6} - 4 x^{9} + x^{12}$

Оцени решение

ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Добавить комментарий Отменить ответ