ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В разложении ${(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^{10}$ по степеням переменной х укажите:

а) Одночлен, содержащий $x^8$

б) Одночлен, содержащий $x^4$

в) Одночлен, содержащий $x^{-2}$

г) Одночлен, не содержащий $x$

Дано разложение $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{10}$ по степеням переменной;

Произвольный член разложения:

$$a = C_{10}^{k} \cdot x^{10 — k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{k} = C_{10}^{k} \cdot x^{10 — k} \cdot \frac{1}{x^{k}} = C_{10}^{k} \cdot x^{10 — 2k};$$

а) Одночлен, содержащий $x^8$:

$$10-2k=8;$$

$$10 — 2k = 8;$$ $$2k=2;$$

$$2k = 2;$$ $$k=\frac{2}{2}=1;$$

$$k = \frac{2}{2} = 1;$$ $$a = C_{10}^{1} \cdot x^8 = 10x^8;$$

Ответ: $10x^8.$

б) Одночлен, содержащий $x^4$:

$$10-2k=4;$$

$$10 — 2k = 4;$$ $$2k=6;$$

$$2k = 6;$$ $$k=\frac{6}{2}=3;$$

$$k = \frac{6}{2} = 3;$$ $$a = C_{10}^{3} \cdot x^4 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \cdot x^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 7!} \cdot x^4 = 120x^4;$$

Ответ: $120x^4.$

в) Одночлен, содержащий $x^{-2}$:

$$10-2k=-2;$$

$$10 — 2k = -2;$$ $$2k=12;$$

$$2k = 12;$$ $$k=\frac{12}{2}=6;$$

$$k = \frac{12}{2} = 6;$$ $$a = C_{10}^{6} \cdot x^{-2} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \cdot x^{-2} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 6!} \cdot x^{-2} = 210x^{-2};$$

Ответ: $210x^{-2}.$

г) Одночлен, не содержащий $x$:

$$10-2k=0;$$

$$10 — 2k = 0;$$ $$2k=10;$$

$$2k = 10;$$ $$k=\frac{10}{2}=5;$$

$$k = \frac{10}{2} = 5;$$ $$a = C_{10}^{5} \cdot x^0 = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot 1 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5!} = 252;$$

Ответ: $252.$

Рассматриваем разложение по формуле бинома Ньютона:

Формула:

$$(x + \frac{1}{x})^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} \cdot x^{10 — k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k$$

Преобразуем каждый член:

$$a_k = C_{10}^{k} \cdot x^{10 — k} \cdot x^{-k} = C_{10}^{k} \cdot x^{10 — 2k}$$

То есть, степень $x$ в каждом члене равна $10 — 2k$.

а) Найти одночлен, содержащий $x^8$

Шаг 1. Решаем уравнение:

$$10 — 2k = 8 \quad \Rightarrow \quad 2k = 2 \quad \Rightarrow \quad k = 1$$

Шаг 2. Подставляем $k = 1$ в выражение:

$$a = C_{10}^{1} \cdot x^{8}$$

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$$C_{10}^{1} = 10$$

Ответ:

$$a = 10x^8$$

Ответ: $10x^8$

б) Найти одночлен, содержащий $x^4$

Шаг 1. Решаем уравнение:

$$10 — 2k = 4 \quad \Rightarrow \quad 2k = 6 \quad \Rightarrow \quad k = 3$$

Шаг 2. Подставляем $k = 3$ в формулу:

$$a = C_{10}^{3} \cdot x^4$$

Вычислим биномиальный коэффициент:

$$C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{720}{6} = 120$$

Ответ:

$$a = 120x^4$$

Ответ: $120x^4$

в) Найти одночлен, содержащий $x^{-2}$

Шаг 1. Решаем уравнение:

$$10 — 2k = -2 \quad \Rightarrow \quad 2k = 12 \quad \Rightarrow \quad k = 6$$

Шаг 2. Подставляем $k = 6$ в формулу:

$$a = C_{10}^{6} \cdot x^{-2}$$

Вычислим биномиальный коэффициент:

$$C_{10}^6=C_{10}^4\text{(по свойству симметрии)}$$

$$C_{10}^{6} = C_{10}^{4} \quad \text{(по свойству симметрии)}$$ $$C_{10}^{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{5040}{24} = 210$$

Ответ:

$$a = 210x^{-2}$$

Ответ: $210x^{-2}$

г) Найти одночлен, не содержащий $x$

То есть степень переменной $x$ равна нулю:

$$x^0$$

Шаг 1. Решаем уравнение:

$$10 — 2k = 0 \quad \Rightarrow \quad 2k = 10 \quad \Rightarrow \quad k = 5$$

Шаг 2. Подставляем $k = 5$:

$$a = C_{10}^{5} \cdot x^0$$

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$$C_{10}^{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{30240}{120} = 252$$

Ответ:

$$a = 252$$

Ответ: $252$