ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Чему равен наибольший коэффициент в разложении $(a + b)^n$, если сумма биномиальных коэффициентов разложения равна:

а) 1024;

б) 512?

Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

В разложении $(a + b)^n$ сумма биномиальных коэффициентов равна:

а) $1024$;
По свойству биномиальных коэффициентов:

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+\dots +C_n^{n-1}+C_n^n=2^n;$$

$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \ldots + C_n^{n-1} + C_n^n = 2^n;$$ $$1024=2^n;$$

$$1024 = 2^n;$$ $$2^{10}=2^n;$$

$$2^{10} = 2^n;$$ $$n = 10;$$

Наибольший из коэффициентов:

$$k=\frac{n}{2}=\frac{10}{2}=5;$$

$$k = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5;$$ $$C_{10}^5 = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = 252;$$

Ответ: $252$, один член $C_{10}^5 a^5 b^5.$

б) $512$;
По свойству биномиальных коэффициентов:

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+\dots +C_n^{n-1}+C_n^n=2^n;$$

$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + \ldots + C_n^{n-1} + C_n^n = 2^n;$$ $$512=2^n;$$

$$512 = 2^n;$$ $$2^9=2^n;$$

$$2^9 = 2^n;$$ $$n = 9;$$

Наибольший из коэффициентов:

$$k=\frac{n}{2}=\frac{9}{2}=\mathrm{4,5};$$

$$k = \frac{n}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5;$$ $$k_1=4,k_2=5;$$

$$k_1 = 4,\quad k_2 = 5;$$ $$C_9^4 = C_9^5 = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = 126;$$

Ответ: $126$, два члена $C_9^4 a^4 b^5$ и $C_9^5 a^5 b^4.$

а) Сумма биномиальных коэффициентов равна $1024$

Шаг 1. Свойство бинома Ньютона

Сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении $(a + b)^n$ равна:

$$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n$$

Шаг 2. Приравниваем сумму к степени двойки

По условию:

$$2^n = 1024$$

Распишем степени двойки:

$$2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8,\quad \ldots,\quad 2^{10} = 1024$$

Значит:

$$n = 10$$

Шаг 3. Найдём наибольший биномиальный коэффициент

В разложении $(a + b)^{10}$ максимальный коэффициент находится по индексу:

$$k = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Шаг 4. Вычисляем биномиальный коэффициент $C_{10}^5$

По формуле:

$$C_{10}^5 = \frac{10!}{5! \cdot 5!}$$

Распишем числитель:

$$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$$

Подставим:

$$C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$$

Шаг 5. Выпишем соответствующий одночлен:

$$C_{10}^5 \cdot a^5 \cdot b^5 = 252 \cdot a^5 b^5$$

Ответ: $252$, один член: $C_{10}^5 a^5 b^5$

б) Сумма биномиальных коэффициентов равна $512$

Шаг 1. Свойство бинома Ньютона

$$C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n$$

Шаг 2. Приравниваем:

$$2^n = 512$$

Распишем степени двойки:

$$2^8 = 256,\quad 2^9 = 512 \Rightarrow n = 9$$

Шаг 3. Наибольший коэффициент в разложении $(a + b)^9$

Так как $n = 9$ — нечётное, максимальные коэффициенты два:

$$k_1 = \left\lfloor \frac{9}{2} \right\rfloor = 4,\quad k_2 = \left\lceil \frac{9}{2} \right\rceil = 5$$

Значит, наибольшие коэффициенты:

$$C_9^4 \quad \text{и} \quad C_9^5$$

Шаг 4. Вычисляем $C_9^4 = C_9^5$

По формуле:

$$C_9^4 = \frac{9!}{4! \cdot 5!}$$

Распишем числитель:

$$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$$

Подставим:

$$C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4! \cdot 5!} = \frac{3024}{24} = 126$$

Шаг 5. Выпишем соответствующие одночлены:

• $C_9^4 \cdot a^4 b^5 = 126a^4b^5$
• $C_9^5 \cdot a^5 b^4 = 126a^5b^4$

Ответ: $126$, два члена: $C_9^4 a^4 b^5$ и $C_9^5 a^5 b^4$