ГДЗ 10-11 Класс Номер 53.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что для любого натурального числа n > 1 и любого положительного числа х справедливо неравенство $$$$

$$(1+x{)}^n>1+nx$$

Доказать, что для любого натурального числа $n > 1$ и любого положительного числа $x$ справедливо неравенство:

$$(1+x{)}^n>1+nx;$$

$$(1 + x)^n > 1 + nx;$$ $$C_n^0\cdot 1+C_n^1\cdot 1\cdot x+C_n^2\cdot 1\cdot x^2+\dots +C_n^{n-1}\cdot 1\cdot x^{n-1}+C_n^n\cdot x^n>1+nx;$$

$$C_n^0 \cdot 1 + C_n^1 \cdot 1 \cdot x + C_n^2 \cdot 1 \cdot x^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot 1 \cdot x^{n-1} + C_n^n \cdot x^n > 1 + nx;$$ $$1+nx+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2+\dots +n{x}^{n-1}+x^n>1+nx;$$

$$1 + nx + \frac{n(n — 1)}{2} \cdot x^2 + \ldots + nx^{n-1} + x^n > 1 + nx;$$ $$\frac{n(n-1)}{2}{x}^2+\dots +n{x}^{n-1}+x^n>0;$$

$$\frac{n(n — 1)}{2} x^2 + \ldots + nx^{n-1} + x^n > 0;$$ $$(n — 1) > 0,\quad x > 0;$$

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

Доказать:

$$(1 + x)^n > 1 + nx,\quad \text{при } n > 1,\ x > 0$$

Шаг 1. Разложим левую часть по формуле бинома Ньютона

По формуле бинома Ньютона:

$$(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n — k} \cdot x^k = \sum_{k = 0}^{n} C_n^k \cdot x^k$$

Распишем по членам:

$$(1 + x)^n = C_n^0 \cdot x^0 + C_n^1 \cdot x^1 + C_n^2 \cdot x^2 + \ldots + C_n^n \cdot x^n$$

Так как $C_n^0 = 1$ и $C_n^1 = n$, получаем:

$$(1 + x)^n = 1 + nx + C_n^2 \cdot x^2 + C_n^3 \cdot x^3 + \ldots + C_n^n \cdot x^n$$

Шаг 2. Переносим правую часть $1 + nx$ в левую сторону неравенства

Рассмотрим разность:

$$(1 + x)^n — (1 + nx) = \left[1 + nx + C_n^2 x^2 + \ldots + C_n^n x^n\right] — (1 + nx)$$ $$= C_n^2 x^2 + C_n^3 x^3 + \ldots + C_n^n x^n$$

Значит, неравенство переписывается как:

$$C_n^2 x^2 + C_n^3 x^3 + \ldots + C_n^n x^n > 0$$

Шаг 3. Покажем, что эта сумма положительна

Пояснение:

• Все биномиальные коэффициенты $C_n^k > 0$ при $k \in \{2, 3, …, n\}$;
• Все степени $x^k > 0$ при $x > 0$ и $k \geq 1$.

Следовательно, каждое слагаемое в сумме:

$$C_n^2 x^2,\ C_n^3 x^3,\ \ldots,\ C_n^n x^n$$

— положительно при $x > 0$ и $n \geq 2$.

Значит, сумма положительных чисел:

$$C_n^2 x^2 + C_n^3 x^3 + \ldots + C_n^n x^n > 0$$

Шаг 4. Промежуточное заключение

$$(1 + x)^n — (1 + nx) > 0 \quad \Rightarrow \quad (1 + x)^n > 1 + nx$$

Шаг 5. Проверка условий

• $n > 1$: биномиальные коэффициенты начиная с $C_n^2$ существуют;
• $x > 0$: каждое слагаемое положительно.

Условие задачи соблюдено, доказательство завершено.

Итог:

Для любого натурального $n > 1$ и любого $x > 0$ выполняется:

$$(1 + x)^n > 1 + nx$$

Что и требовалось доказать.