ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На стойке для CD-дисков в беспорядке расположены 20 (с торца неразличимых) дисков с компьютерными играми. Из них 12 — квесты, а остальные — аркады. Десятиклассник случайным образом выбирает два диска. Какова вероятность того, что:

а) оба они окажутся с квестами;

б) оба они — с аркадами;

в) эти диски — с играми разных типов?

г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?

Случайным образом выбирают 2 диска из 20:
– 12 дисков с квестами;
– 8 дисков с аркадами;

а) Вероятность, что оба диска будут с квестами:

$$N=C_{20}^2=\frac{20\cdot (20-1)}{2}=10\cdot 19=190;$$

$$N = C_{{20}}^{2} = \frac{20 \cdot (20 — 1)}{2} = 10 \cdot 19 = 190;$$ $$N(A)=C_{12}^2=\frac{12\cdot (12-1)}{2}=6\cdot 11=66;$$

$$N(A) = C_{{12}}^{2} = \frac{12 \cdot (12 — 1)}{2} = 6 \cdot 11 = 66;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{66}{190} = \frac{33}{95};$$

Ответ: $\frac{33}{95}$.

б) Вероятность, что оба диска будут с аркадами:

$$N=C_{20}^2=\frac{20\cdot (20-1)}{2}=10\cdot 19=190;$$

$$N = C_{{20}}^{2} = \frac{20 \cdot (20 — 1)}{2} = 10 \cdot 19 = 190;$$ $$N(A)=C_8^2=\frac{8\cdot (8-1)}{2}=4\cdot 7=28;$$

$$N(A) = C_{{8}}^{2} = \frac{8 \cdot (8 — 1)}{2} = 4 \cdot 7 = 28;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95};$$

Ответ: $\frac{14}{95}$.

в) Вероятность, что диски с играми разных типов:

$$N=C_{20}^2=\frac{20\cdot (20-1)}{2}=10\cdot 19=190;$$

$$N = C_{{20}}^{2} = \frac{20 \cdot (20 — 1)}{2} = 10 \cdot 19 = 190;$$ $$N(A)=12\cdot 8=96;$$

$$N(A) = 12 \cdot 8 = 96;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{96}{190} = \frac{48}{95};$$

Ответ: $\frac{48}{95}$.

г) Сумма всех вероятностей в предыдущих пунктах равна единице, так как они охватывают все возможные случаи;

Ответ: 1.

На стойке расположено 20 неразличимых с торца CD-дисков, среди которых:

• 12 дисков с квестами;
• 8 дисков с аркадами (так как $20 — 12 = 8$).

Ученик случайно выбирает 2 диска.

Требуется найти вероятности следующих событий:

а) оба диска — квесты;
б) оба диска — аркады;
в) один диск — квест, другой — аркада;
г) сумма вероятностей из пунктов а), б), в).

Общие обозначения:

Общее количество способов выбрать любые 2 диска из 20:

$$N = C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$$

Это — общее число равновозможных исходов (возможных пар дисков).

а) Вероятность того, что оба диска — с квестами

Шаг 1. Количество благоприятных исходов:

Сколько способов выбрать 2 квеста из 12?

$$N(A) = C_{12}^{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$$

Шаг 2. Вероятность:

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{66}{190}$$

Сократим дробь:

$$\frac{66}{190} = \frac{33}{95}$$

Ответ (а): $\boxed{\dfrac{33}{95}}$

б) Вероятность того, что оба диска — с аркадами

Шаг 1. Количество способов выбрать 2 аркады из 8:

$$N(B) = C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Шаг 2. Вероятность:

$$P(B) = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}$$

Ответ (б): $\boxed{\dfrac{14}{95}}$

в) Вероятность того, что диски — с играми разных типов

Один диск — квест, второй — аркада.

Шаг 1. Число способов выбрать одну пару: квест + аркада.

Для этого:

• выбрать 1 квест из 12: 12 способов;
• выбрать 1 аркаду из 8: 8 способов.

Общее число таких пар:

$$N(C) = 12 \cdot 8 = 96$$

(Заметим, что выбор «квест + аркада» или «аркада + квест» — это одна и та же пара, так как порядок не важен.)

Шаг 2. Вероятность:

$$P(C) = \frac{96}{190} = \frac{48}{95}$$

Ответ (в): $\boxed{\dfrac{48}{95}}$

г) Сумма всех вероятностей

$$P = P(A) + P(B) + P(C) = \frac{33}{95} + \frac{14}{95} + \frac{48}{95}$$

Складываем:

$$P = \frac{33 + 14 + 48}{95} = \frac{95}{95} = 1$$

Ответ (г): $\boxed{1}$

Вывод:

Все возможные случаи — это:

• пара квестов,
• пара аркад,
• одна аркада и один квест.

Именно эти 3 варианта полностью исчерпывают все возможные выборки из 2 дисков, и сумма вероятностей, как и должно быть, равна 1.

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\dfrac{33}{95}}$

б) $\boxed{\dfrac{14}{95}}$

в) $\boxed{\dfrac{48}{95}}$

г) $\boxed{1}$