ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернулли равна 0,7. Пользуясь теоремой Бернулли, составьте формулы для следующих событий:

а) при трёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»;

б) при четырёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»;

в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха».

Вычислите вероятности в а) — в).

Вероятность успеха в одном испытании Бернулли равна 0,7:

$$p=\mathrm{0,7};$$

$$p = 0{,}7;$$ $$q = 1 — 0{,}7 = 0{,}3;$$

а) При трёх независимых испытаниях будет ровно 2 успеха:

$$P_3(2)=C_3^2\cdot p^2\cdot q^{3-2}=C_3^2\cdot {\mathrm{0,7}}^2\cdot {\mathrm{0,3}}^1;$$

$$P_3(2) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^{3-2} = C_3^2 \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^1;$$ $$P_3(2) = 3 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}3 = 0{,}441;$$

б) При четырёх независимых испытаниях будет ровно 2 неудачи:

$$P_4(2)=C_4^2\cdot p^2\cdot q^2=C_4^2\cdot {\mathrm{0,7}}^2\cdot {\mathrm{0,3}}^2;$$

$$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^2 = C_4^2 \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2;$$ $$P_4(2) = \frac{4 \cdot (4 — 1)}{2} \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 2 \cdot 3 \cdot 0{,}0441 = 0{,}2646;$$

в) При пяти независимых испытаниях будет ровно 3 успеха:

$$P_5(3)=C_5^3\cdot p^3\cdot q^{5-3}=C_5^3\cdot {\mathrm{0,7}}^3\cdot {\mathrm{0,3}}^2;$$

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5 — 3} = C_5^3 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2;$$ $$P_5(3)=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \mathrm{0,343}\cdot \mathrm{0,09}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}\cdot \mathrm{0,03087}=\mathrm{0,3087}$$

Если в серии из $n$ независимых испытаний вероятность успеха в одном испытании равна $p$, а вероятность неудачи — $q = 1 — p$, то вероятность того, что успех произойдет ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n — k}$$

где:

• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент;
• $p$ — вероятность успеха;
• $q = 1 — p$ — вероятность неудачи;
• $k$ — количество успехов;
• $n$ — число испытаний.

Дано:

$$p = 0{,}7,\quad q = 1 — 0{,}7 = 0{,}3$$

а) При трёх испытаниях будет ровно 2 успеха

Здесь:

• $n = 3$
• $k = 2$
• Используем формулу Бернулли:

$$P_3(2) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^{3-2}$$

Вычислим:

1. $C_3^2 = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3$
2. $p^2 = (0{,}7)^2 = 0{,}49$
3. $q^1 = 0{,}3$

Подставим:

$$P_3(2) = 3 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}3 = 3 \cdot 0{,}147 = 0{,}441$$

Ответ: $\boxed{0{,}441}$

б) При четырёх испытаниях будет ровно 2 неудачи

Если неудач — 2, то успехов — $4 — 2 = 2$

Значит:

• $n = 4$
• $k = 2$

$$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^2$$

Вычислим:

1. $C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$
2. $p^2 = (0{,}7)^2 = 0{,}49$
3. $q^2 = (0{,}3)^2 = 0{,}09$

Подставим:

$$P_4(2) = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 6 \cdot 0{,}0441 = 0{,}2646$$

Ответ: $\boxed{0{,}2646}$

в) При пяти испытаниях будет ровно 3 успеха

Здесь:

• $n = 5$
• $k = 3$

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^2$$

Вычислим:

1. $C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$
2. $p^3 = (0{,}7)^3 = 0{,}343$
3. $q^2 = (0{,}3)^2 = 0{,}09$

Подставим:

$$P_5(3) = 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 = 10 \cdot 0{,}03087 = 0{,}3087$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,3087}}}$