ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что:

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил;

г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20:

$$p=\frac{5}{20}=\mathrm{0,25};$$

$$p = \frac{5}{20} = 0{,}25;$$ $$q = 1 — 0{,}25 = 0{,}75;$$

а) Вероятность, что каждому из них достался выученный вопрос:

$$P_4(4) = C_4^4 \cdot p^4 \cdot q^{4 — 4} = 1 \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^0 = 0{,}25^4 \approx 0{,}004;$$

Ответ: $0{,}25^4 \approx 0{,}004$

б) Вероятность, что никому из них не достался выученный вопрос:

$$P_4(0) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^{4 — 0} = 1 \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^4 = 0{,}75^4 \approx 0{,}316;$$

Ответ: $0{,}75^4 \approx 0{,}316$

в) Вероятность, что одному из них не достался выученный вопрос:

$$P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^{4 — 3} = 4 \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^1 = 0{,}75 \cdot 0{,}25^2 \approx 0{,}047;$$

Ответ: $0{,}75 \cdot 0{,}25^2 \approx 0{,}047$

г) Вероятность, что хотя бы одному из них задали выученный вопрос:

$$P_4(0)=C_4^0\cdot p^0\cdot q^4={\mathrm{0,75}}^4;$$

$$P_4(0) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^4 = 0{,}75^4;$$ $$P = 1 — P_4(0) = 1 — 0{,}75^4 \approx 0{,}684;$$

Ответ: $1 — 0{,}75^4 \approx 0{,}684$

Каждый из 4-х приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20:

• Вероятность того, что один приятель выучил данный вопрос (то есть ему повезло) равна:

$$p = \frac{5}{20} = 0{,}25$$

• Тогда вероятность того, что вопрос не выучен — это:

$$q = 1 — p = 1 — 0{,}25 = 0{,}75$$

Значит, мы имеем 4 независимых испытания с вероятностью успеха $p = 0{,}25$ в каждом.

Эти испытания описываются биномиальным распределением, т.е. используем формулу Бернулли:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

где:

• $n = 4$ — общее число студентов (испытаний),
• $k$ — число студентов, которым попался выученный вопрос,
• $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты,
• $p = 0{,}25$, $q = 0{,}75$

а) Вероятность, что каждому достался выученный вопрос

Значит, $k = 4$, т.е. все 4 выучили свои вопросы:

$$P_4(4) = C_4^4 \cdot p^4 \cdot q^0 = 1 \cdot (0{,}25)^4 \cdot 1 = 0{,}25^4$$

Посчитаем:

$$0{,}25^4 = (1/4)^4 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039$$

Ответ: $\boxed{0{,}0039}$

б) Вероятность, что никому не достался выученный вопрос

Значит, $k = 0$, т.е. все 4 получили невыученные:

$$P_4(0) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^4 = 1 \cdot 1 \cdot (0{,}75)^4 = 0{,}75^4$$

Посчитаем:

$$0{,}75^2 = 0{,}5625,\quad 0{,}75^4 = (0{,}5625)^2 = 0{,}3164$$

Ответ: $\boxed{0{,}3164}$

в) Вероятность, что только одному из них достался невыученный вопрос

Это означает, что троим попались выученные, а одному — нет.

Значит:

• $k = 3$ (3 успеха, 1 неудача)

$$P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^1 = 4 \cdot (0{,}25)^3 \cdot 0{,}75$$

Посчитаем:

$$0{,}25^3 = 0{,}015625,\quad 4 \cdot 0{,}015625 = 0{,}0625,\quad 0{,}0625 \cdot 0{,}75 = 0{,}0469$$

Ответ: $\boxed{0{,}0469}$

г) Вероятность, что хотя бы одному из них достался выученный вопрос

Это противоположное событие к тому, что никому не попался выученный.

Значит:

$$P = 1 — P_4(0) = 1 — 0{,}75^4 = 1 — 0{,}3164 = 0{,}6836$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,684}}}$