ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х² ≤ 9. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $x^2 \leq 10$;

б) $2x — 3 \leq 17$;

в) $x^2 \geq 10$;

г) $x^3 + 2x \geq 0$

Выбирают одно из решений неравенства:
$x^2 \leq 9$;
Найти вероятность, что оно является решением второго неравенства;

Решения данного неравенства:
$x^2 \leq 9$;
$x^2 — 9 \leq 0$;
$(x + 3)(x — 3) \leq 0$;
$-3 \leq x \leq 3$;

а) $x^2 \leq 10$;
$x^2 — 10 \leq 0$;
$(x + \sqrt{10})(x — \sqrt{10}) \leq 0$;
$-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$;
$[-3;\ 3] \in [-\sqrt{10};\ \sqrt{10}]$;
Ответ: 1.

б) $2x — 3 \leq 17$;
$2x \leq 20$;
$x \leq 10$;
$[-3;\ 3] \in (-\infty;\ 10]$;
Ответ: 1.

в) $x^2 \geq 10$;
$x^2 — 10 \geq 0$;
$(x + \sqrt{10})(x — \sqrt{10}) \geq 0$;
$x \leq -\sqrt{10}$ или $x \geq \sqrt{10}$;
$[-3;\ 3] \cap (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty) = \varnothing$;
Ответ: 0.

г) $x^3 + 2x \geq 0$;
$x(x^2 + 2) \geq 0$;
$x \geq 0$;
$[-3;\ 3] \cap [0;\ +\infty) = [0;\ 3]$;
$P = \frac{3 — 0}{3 — (-3)} = \frac{3}{6} = 0{,}5$;
Ответ: 0,5.

Нам дано, что наугад выбирается одно число из множества решений неравенства:

$$x^2 \leq 9$$

Наша задача — найти вероятность того, что выбранное число также удовлетворяет второму неравенству (в пунктах а–г).

Шаг 1. Найдём множество всех возможных «элементарных исходов»

Решим неравенство:

$$x^2 \leq 9 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq x \leq 3$$

Это значит, что все возможные значения $x$ находятся в отрезке:

$$x \in [-3;\ 3]$$

Именно этот отрезок является универсальным пространством исходов.

а) Неравенство: $x^2 \leq 10$

Решим:

$$x^2 \leq 10 \Rightarrow -\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$$ $$\sqrt{10} \approx 3.16 \Rightarrow [-\sqrt{10};\ \sqrt{10}] \approx [-3.16;\ 3.16]$$

Сравниваем с отрезком $[-3; 3]$:

Весь отрезок $[-3; 3]$ целиком лежит внутри $[-\sqrt{10};\ \sqrt{10}]$

Следовательно, любая выбранная точка из $[-3; 3]$ удовлетворяет $x^2 \leq 10$

$$P = \frac{\text{длина пересечения}}{\text{длина всего отрезка}} = \frac{6}{6} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б) Неравенство: $2x — 3 \leq 17$

Решаем:

$$2x \leq 20 \Rightarrow x \leq 10$$

Множество решений: $x \in (-\infty; 10]$

Наша «универсальная» область — $[-3; 3]$, а это подмножество отрезка $(-\infty;\ 10]$

Следовательно, все значения из $[-3; 3]$ удовлетворяют этому неравенству

$$P = \frac{6}{6} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

в) Неравенство: $x^2 \geq 10$

Решим:

$$x^2 \geq 10 \Rightarrow x \leq -\sqrt{10} \quad \text{или} \quad x \geq \sqrt{10}$$

Приблизим:

$$\sqrt{10} \approx 3.16 \Rightarrow x \in (-\infty; -3.16] \cup [3.16; +\infty)$$

Наша область $[-3; 3]$ не пересекается с решением неравенства

$$[-3; 3] \cap \left( (-\infty; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty) \right) = \emptyset$$

Следовательно, ни одно число из $[-3; 3]$ не является решением этого неравенства

$$P = \frac{0}{6} = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

г) Неравенство: $x^3 + 2x \geq 0$

Решим:

$$x^3 + 2x \geq 0 \Rightarrow x(x^2 + 2) \geq 0$$

Так как $x^2 + 2 > 0$ для всех $x$, знак всего выражения определяется знаком $x$

$$x(x^2 + 2) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \geq 0$$

Множество решений: $[0; +\infty)$

Теперь найдём пересечение с $[-3;\ 3]$:

$$[-3;\ 3] \cap [0; +\infty) = [0; 3]$$

Найдём вероятность:

$$P = \frac{\text{длина отрезка } [0;\ 3]}{\text{длина отрезка } [-3;\ 3]} = \frac{3}{6} = 0.5$$

Ответ: $\boxed{0.5}$