ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три. Найдите вероятность того, что:

а) существует прямоугольный треугольник с такими сторонами;

б) существует треугольник с такими сторонами;

в) их произведение оканчивается на ноль;

г) их сумма меньше 10.

Из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одновременно выбирают три;
Найти вероятность того, что:

а) Существует прямоугольный треугольник с такими сторонами:
(Сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа);

$$N=C_5^3=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=5\cdot 2=10;$$

$$N = C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$N(A)=(3,4,5)=1;$$

$$N(A) = (3, 4, 5) = 1;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{1}{10} = 0{,}1;$$

Ответ: 0,1.

б) Существует треугольник с такими сторонами:
(Каждое число меньше суммы двух других чисел);

$$N=C_5^3=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=5\cdot 2=10;$$

$$N = C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$N(A)=\{(2,3,4);(2,4,5);(3,4,5)\}=3;$$

$$N(A) = \{ (2,3,4); (2,4,5); (3,4,5) \} = 3;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{3}{10} = 0{,}3;$$

Ответ: 0,3.

в) Их произведение оканчивается на ноль:

$$N=C_5^3=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=5\cdot 2=10;$$

$$N = C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$N(A)=\{(2,5,1);(2,5,3);(2,5,4);(4,5,1);(4,5,3)\}=5;$$

$$N(A) = \{ (2,5,1); (2,5,3); (2,5,4); (4,5,1); (4,5,3) \} = 5;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{5}{10} = 0{,}5;$$

Ответ: 0,5.

г) Их сумма меньше десяти:

$$N=C_5^3=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=5\cdot 2=10;$$

$$N = C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$N(A)=\{(5,4,1);(5,4,2);(5,4,3);(5,3,2)\}=4;$$

$$N(A) = \{ (5,4,1); (5,4,2); (5,4,3); (5,3,2) \} = 4;$$ $$P(A) = 1 — \frac{N(A)}{N} = 1 — \frac{4}{10} = 1 — 0{,}4 = 0{,}6;$$

Ответ: 0,6.

Из множества чисел $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ одновременно выбирают три различных числа.
Нужно найти вероятность того, что:

а) из этих чисел можно составить прямоугольный треугольник;
б) из этих чисел можно составить любой треугольник;
в) произведение этих чисел оканчивается на 0;
г) сумма этих чисел меньше 10.

Общее число исходов

Изначально у нас 5 чисел, из которых выбираем любые 3 без повторений и без учета порядка (сочетания).

$$N = C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$$

Всего существует 10 различных троек.

а) Существует прямоугольный треугольник с такими сторонами

Условие:

Три натуральных числа могут быть сторонами прямоугольного треугольника, если сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Переберём все возможные тройки (в порядке возрастания):

1. (1, 2, 3): $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \ne 9$
2. (1, 2, 4): $1 + 4 = 5 \ne 16$
3. (1, 2, 5): $1 + 4 = 5 \ne 25$
4. (1, 3, 4): $1 + 9 = 10 \ne 16$
5. (1, 3, 5): $1 + 9 = 10 \ne 25$
6. (1, 4, 5): $1 + 16 = 17 \ne 25$
7. (2, 3, 4): $4 + 9 = 13 \ne 16$
8. (2, 3, 5): $4 + 9 = 13 \ne 25$
9. (2, 4, 5): $4 + 16 = 20 \ne 25$
10. (3, 4, 5): $9 + 16 = 25\ ✔$

Подходящие тройки:

• Только одна тройка подходит: (3, 4, 5)

Вероятность:

$$P = \frac{1}{10} = 0{,}1$$

Ответ: 0,1

б) Существует треугольник с такими сторонами

Условие:

Стороны образуют треугольник, если любая сторона меньше суммы двух других (неравенство треугольника).
То есть для сторон $a < b < c$ нужно:

$$a + b > c$$

Проверим все 10 троек (в порядке возрастания):

1. (1, 2, 3): $1 + 2 = 3 \not> 3$ ✖
2. (1, 2, 4): $1 + 2 = 3 < 4$ ✖
3. (1, 2, 5): $1 + 2 = 3 < 5$ ✖
4. (1, 3, 4): $1 + 3 = 4 \not> 4$ ✖
5. (1, 3, 5): $1 + 3 = 4 < 5$ ✖
6. (1, 4, 5): $1 + 4 = 5 \not> 5$ ✖
7. (2, 3, 4): $2 + 3 = 5 > 4$ ✔
8. (2, 3, 5): $2 + 3 = 5 \not> 5$ ✖
9. (2, 4, 5): $2 + 4 = 6 > 5$ ✔
10. (3, 4, 5): $3 + 4 = 7 > 5$ ✔

Подходящие тройки:

• (2, 3, 4)
• (2, 4, 5)
• (3, 4, 5)

Итого: 3 тройки

Вероятность:

$$P = \frac{3}{10} = 0{,}3$$

Ответ: 0,3

в) Их произведение оканчивается на 0

Условие:

Произведение трёх чисел оканчивается на 0, если оно делится на 10, то есть содержит множители 2 и 5.

Из чисел 1–5:

• Число 2 даёт множитель 2
• Число 5 даёт множитель 5

Значит, произведение будет кратно 10, если в тройке есть одновременно 2 и 5

Найдём все такие тройки (содержат и 2, и 5):

1. (1, 2, 5) ✔
2. (2, 3, 5) ✔
3. (2, 4, 5) ✔
4. (1, 4, 5) ✔
5. (3, 4, 5) ✔

Итого: 5 троек

Вероятность:

$$P = \frac{5}{10} = 0{,}5$$

Ответ: 0,5

г) Их сумма меньше 10

Условие:

Найти количество троек, сумма которых строго меньше 10

Переберём все тройки и их суммы:

1. (1, 2, 3): $1 + 2 + 3 = 6$ ✔
2. (1, 2, 4): $7$ ✔
3. (1, 2, 5): $8$ ✔
4. (1, 3, 4): $8$ ✔
5. (1, 3, 5): $9$ ✔
6. (1, 4, 5): $10$ ✖
7. (2, 3, 4): $9$ ✔
8. (2, 3, 5): $10$ ✖
9. (2, 4, 5): $11$ ✖
10. (3, 4, 5): $12$ ✖

Подходят:

• (1, 2, 3)
• (1, 2, 4)
• (1, 2, 5)
• (1, 3, 4)
• (1, 3, 5)
• (2, 3, 4)

Итого: 6 троек со суммой < 10

Тогда неблагоприятные тройки (сумма не меньше 10):

• (1, 4, 5)
• (2, 3, 5)
• (2, 4, 5)
• (3, 4, 5)

Их 4, а значит:

$$P = \frac{6}{10} = 0{,}6$$

Ответ: 0,6