ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вы находитесь в круглом зале с 10 дверями, из которых какието 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что:

а) вы не сможете выйти из зала;

б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;

в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал;

г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

В круглом зале имеется 10 дверей, из которых 4 заперты;
Вы случайным образом выбираете две двери;
Найти вероятность того, что:

а) Вы не сможете выйти из зала:

$$N=C_{10}^2=\frac{10(10-1)}{2}=5\cdot 9=45;$$

$$N = C_{10}^2 = \frac{10(10 — 1)}{2} = 5 \cdot 9 = 45;$$ $$N(A)=C_4^2=\frac{4(4-1)}{2}=2\cdot 3=6;$$

$$N(A) = C_4^2 = \frac{4(4 — 1)}{2} = 2 \cdot 3 = 6;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15};$$

Ответ: $\frac{2}{15}$.

б) Вы сможете выйти, но не сможете войти через другую дверь:

$$N=C_{10}^2=\frac{10(10-1)}{2}=5\cdot 9=45;$$

$$N = C_{10}^2 = \frac{10(10 — 1)}{2} = 5 \cdot 9 = 45;$$ $$N(A)=C_4^1\cdot C_6^1=4\cdot 6=24;$$

$$N(A) = C_4^1 \cdot C_6^1 = 4 \cdot 6 = 24;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15};$$

Ответ: $\frac{8}{15}$.

в) Вы сможете выйти через одну дверь и вернуться через другую:

$$N=C_{10}^2=\frac{10(10-1)}{2}=5\cdot 9=45;$$

$$N = C_{10}^2 = \frac{10(10 — 1)}{2} = 5 \cdot 9 = 45;$$ $$N(A)=C_6^2=\frac{6(6-1)}{2}=3\cdot 5=15;$$

$$N(A) = C_6^2 = \frac{6(6 — 1)}{2} = 3 \cdot 5 = 15;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Вы сможете выйти из зала хотя бы через одну дверь:

$$N=C_{10}^2=\frac{10(10-1)}{2}=5\cdot 9=45;$$

$$N = C_{10}^2 = \frac{10(10 — 1)}{2} = 5 \cdot 9 = 45;$$ $$N(\bar{A})=C_4^2=\frac{4(4-1)}{2}=2\cdot 3=6;$$

$$N(\overline{A}) = C_4^2 = \frac{4(4 — 1)}{2} = 2 \cdot 3 = 6;$$ $$P(A) = 1 — \frac{N(\overline{A})}{N} = 1 — \frac{6}{45} = \frac{39}{45} = \frac{13}{15};$$

Ответ: $\frac{13}{15}$.

Условие задачи:

• В круглом зале имеется 10 дверей, из которых 4 двери заперты, а 6 дверей открыты.
• Из этих 10 дверей вы случайным образом выбираете две разные двери.
• Требуется найти вероятность наступления разных событий.

Общее количество исходов

Общее число способов выбрать 2 двери из 10 без учета порядка:

$$N = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$

а) Вы не сможете выйти из зала

Условие:

Вы выбрали две запертые двери → ни одна не открыта → выйти нельзя.

Количество запертых дверей: 4
Число способов выбрать 2 из 4 запертых дверей:

$$N(A) = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Вероятность:

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{15}}$

б) Вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете

Условие:

Одна дверь открыта, другая заперта.

То есть вы выбрали:

• 1 открытую дверь из 6: $C_6^1 = 6$
• 1 запертую дверь из 4: $C_4^1 = 4$

Число таких пар:

$$N(B) = C_6^1 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24$$

Важно: Порядок не важен (например, [открытая, запертая] и [запертая, открытая] — это одна и та же пара), и формула уже учла это (как выбор без порядка).

Вероятность:

$$P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$$

Ответ: $\boxed{\frac{8}{15}}$

в) Вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал

Условие:

Обе выбранные двери открыты → можно выйти через одну, войти через другую.

Количество открытых дверей: 6
Число способов выбрать 2 из 6 открытых дверей:

$$N(C) = C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

Вероятность:

$$P(C) = \frac{N(C)}{N} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{3}}$

г) Хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала

Условие:

Хотя бы одна дверь из двух — открыта.

Это дополнительное событие к тому, что обе двери заперты (то есть случай из пункта а)).

По формуле:

$$P(D) = 1 — P(\text{обе заперты}) = 1 — \frac{6}{45} = \frac{39}{45} = \frac{13}{15}$$

Ответ: $\boxed{\frac{13}{15}}$