ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Из колоды в 36 карт одновременно выбирают две карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе карты чёрной масти;

б) обе карты пиковой масти;

в) обе карты крестовой масти;

г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой.

Из колоды в 36 карт одновременно выбирают две карты;

а) Вероятность, что обе карты чёрной масти:

$$A=\frac{36}{2}=18;$$

$$A = \frac{36}{2} = 18;$$ $$N=C_{36}^2=\frac{36\cdot (36-1)}{2}=18\cdot 35=630;$$

$$N = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot (36 — 1)}{2} = 18 \cdot 35 = 630;$$ $$N(A)=C_{18}^2=\frac{18\cdot (18-1)}{2}=9\cdot 17=153;$$

$$N(A) = C_{18}^{2} = \frac{18 \cdot (18 — 1)}{2} = 9 \cdot 17 = 153;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{153}{630} = \frac{17}{70};$$

Ответ: $\frac{17}{70}$.

б) Вероятность, что обе карты пиковой масти:

$$A=\frac{36}{4}=9;$$

$$A = \frac{36}{4} = 9;$$ $$N=C_{36}^2=\frac{36\cdot (36-1)}{2}=18\cdot 35=630;$$

$$N = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot (36 — 1)}{2} = 18 \cdot 35 = 630;$$ $$N(A)=C_9^2=\frac{9\cdot (9-1)}{2}=\frac{9\cdot 8}{2}=36;$$

$$N(A) = C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot (9 — 1)}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{36}{630} = \frac{2}{35};$$

Ответ: $\frac{2}{35}$.

в) Вероятность, что обе карты крестовой масти:

$$A=\frac{36}{4}=9;$$

$$A = \frac{36}{4} = 9;$$ $$N=C_{36}^2=\frac{36\cdot (36-1)}{2}=18\cdot 35=630;$$

$$N = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot (36 — 1)}{2} = 18 \cdot 35 = 630;$$ $$N(A)=C_9^2=\frac{9\cdot (9-1)}{2}=\frac{9\cdot 8}{2}=36;$$

$$N(A) = C_{9}^{2} = \frac{9 \cdot (9 — 1)}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{36}{630} = \frac{2}{35};$$

Ответ: $\frac{2}{35}$.

г) Вероятность, что одна карта пиковой масти, а другая — крестовой:

$$A=\frac{36}{4}=9;$$

$$A = \frac{36}{4} = 9;$$ $$N=C_{36}^2=\frac{36\cdot (36-1)}{2}=18\cdot 35=630;$$

$$N = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot (36 — 1)}{2} = 18 \cdot 35 = 630;$$ $$N(A)=9\cdot 9=81;$$

$$N(A) = 9 \cdot 9 = 81;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{81}{630} = \frac{9}{70};$$

Ответ: $\frac{9}{70}$.

а) Найти вероятность того, что обе карты — чёрной масти

Шаг 1. Общее количество способов выбрать 2 карты из 36

Это сочетание:

$$N = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot (36 — 1)}{2} = \frac{36 \cdot 35}{2} = 18 \cdot 35 = 630$$

Шаг 2. Сколько всего чёрных карт?

Чёрные масти: пики и трефы → каждая масть содержит 9 карт:

$$A = 9 + 9 = 18\ \text{чёрных карт}$$

Шаг 3. Сколько способов выбрать 2 чёрные карты из 18?

$$N(A) = C_{18}^{2} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 9 \cdot 17 = 153$$

Шаг 4. Вычисляем вероятность

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{153}{630}$$

Сократим дробь:

$$\frac{153}{630} = \frac{51}{210} = \frac{17}{70}$$

Ответ (а): $\boxed{\dfrac{17}{70}}$

б) Вероятность того, что обе карты пиковой масти

Шаг 1. В каждой масти 9 карт → пик: 9 карт.

$$A = 9$$

Шаг 2. Число способов выбрать 2 пики:

$$N(A) = C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$$

Шаг 3. Общее количество способов выбрать 2 карты — то же:

$$N = 630$$

Шаг 4. Вероятность:

$$P(A) = \frac{36}{630} = \frac{6}{105} = \frac{2}{35}$$

Ответ (б): $\boxed{\dfrac{2}{35}}$

в) Вероятность того, что обе карты крестовой масти

Масть крести (трефы) также содержит 9 карт.

Шаги идентичны пункту б):

$$N(A) = C_9^2 = 36;\quad N = 630;\quad P = \frac{36}{630} = \frac{2}{35}$$

Ответ (в): $\boxed{\dfrac{2}{35}}$

г) Вероятность того, что одна карта — пиковой масти, а другая — крестовой

Шаг 1. Сколько карт пиковой масти?

9 карт.

Шаг 2. Сколько карт крестовой масти?

Тоже 9 карт.

Шаг 3. Сколько способов выбрать 1 пику и 1 трефу?

$$N(A) = 9 \cdot 9 = 81$$

Пояснение: для каждой из 9 пик можно выбрать любую из 9 крести.

Шаг 4. Общее количество способов выбрать 2 карты:

$$N = 630$$

Шаг 5. Вероятность:

$$P(A) = \frac{81}{630} = \frac{27}{210} = \frac{9}{70}$$

Ответ (г): $\boxed{{\displaystyle \frac{9}{70}}}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\dfrac{17}{70}}$

б) $\boxed{\dfrac{2}{35}}$

в) $\boxed{\dfrac{2}{35}}$

г) $\boxed{\dfrac{9}{70}}$