ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вероятность Р(А + В) суммы двух независимых событий А и В равна 0,9. Найдите, чему равна вероятность Р(В) события В, если известно, что вероятность Р(А) события А равна:

а) 0,1;

б) 0,5;

в) 0,8;

г) 0,89.

Даны два независимых события A и B;
Известно, что: $P(A + B) = 0{,}9$;

а) $P(A) = 0{,}1$;

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B);$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}+P(B)-\mathrm{0,1}\cdot P(B);$$

$$0{,}9 = 0{,}1 + P(B) — 0{,}1 \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,8}=\mathrm{0,9}P(B);$$

$$0{,}8 = 0{,}9P(B);$$ $$9P(B)=8;$$

$$9P(B) = 8;$$ $$P(B) = \frac{8}{9};$$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

б) $P(A) = 0{,}5$;

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B);$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,9}=\mathrm{0,5}+P(B)-\mathrm{0,5}\cdot P(B);$$

$$0{,}9 = 0{,}5 + P(B) — 0{,}5 \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,4}=\mathrm{0,5}P(B);$$

$$0{,}4 = 0{,}5P(B);$$ $$5P(B)=4;$$

$$5P(B) = 4;$$ $$P(B) = \frac{4}{5} = 0{,}8;$$

Ответ: 0,8.

в) $P(A) = 0{,}8$;

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B);$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,9}=\mathrm{0,8}+P(B)-\mathrm{0,8}\cdot P(B);$$

$$0{,}9 = 0{,}8 + P(B) — 0{,}8 \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,1}=\mathrm{0,2}P(B);$$

$$0{,}1 = 0{,}2P(B);$$ $$2P(B)=1;$$

$$2P(B) = 1;$$ $$P(B) = \frac{1}{2} = 0{,}5;$$

Ответ: 0,5.

г) $P(A) = 0{,}89$;

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B);$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,9}=\mathrm{0,89}+P(B)-\mathrm{0,89}\cdot P(B);$$

$$0{,}9 = 0{,}89 + P(B) — 0{,}89 \cdot P(B);$$ $$\mathrm{0,01}=\mathrm{0,11}P(B);$$

$$0{,}01 = 0{,}11P(B);$$ $$11P(B)=1;$$

$$11P(B) = 1;$$ $$P(B) = \frac{1}{11};$$

Ответ: $\frac{1}{11}$.

Даны два независимых события $A$ и $B$.
Известно, что:

• $P(A + B) = 0{,}9$ — вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из событий A или B.
• Требуется найти вероятность $P(B)$, если известна $P(A)$.

Общая формула для суммы вероятностей двух независимых событий:

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B)$$

Эта формула работает и для независимых, и для зависимых событий.
Но если события независимы, то $P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$, что используется в вычитании.

а) $P(A) = 0{,}1$

Подставим в формулу:

$$P(A + B) = 0{,}9 = 0{,}1 + P(B) — 0{,}1 \cdot P(B)$$

Вынесем $P(B)$ за скобки:

$$0{,}9 = 0{,}1 + P(B)(1 — 0{,}1) = 0{,}1 + 0{,}9P(B)$$

Вычтем 0,1 из обеих сторон:

$$0{,}8 = 0{,}9P(B)$$

Разделим обе части на 0,9:

$$P(B) = \frac{0{,}8}{0{,}9} = \frac{8}{9} \approx 0{,}888…$$

Ответ: $\boxed{\frac{8}{9}}$

б) $P(A) = 0{,}5$

Подставим в формулу:

$$0{,}9 = 0{,}5 + P(B) — 0{,}5 \cdot P(B)$$

Сгруппируем:

$$0{,}9 = 0{,}5 + P(B)(1 — 0{,}5) = 0{,}5 + 0{,}5P(B)$$

Вычтем 0,5:

$$0{,}4 = 0{,}5P(B)$$

Разделим:

$$P(B) = \frac{0{,}4}{0{,}5} = \frac{4}{5} = 0{,}8$$

Ответ: $\boxed{0{,}8}$

в) $P(A) = 0{,}8$

Подставим:

$$0{,}9 = 0{,}8 + P(B) — 0{,}8 \cdot P(B)$$

Приведём:

$$0{,}9 = 0{,}8 + P(B)(1 — 0{,}8) = 0{,}8 + 0{,}2P(B)$$

Вычтем 0,8:

$$0{,}1 = 0{,}2P(B)$$

Разделим:

$$P(B) = \frac{0{,}1}{0{,}2} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{0{,}5}$

г) $P(A) = 0{,}89$

Подставим:

$$0{,}9 = 0{,}89 + P(B) — 0{,}89 \cdot P(B)$$

Сгруппируем:

$$0{,}9 = 0{,}89 + P(B)(1 — 0{,}89) = 0{,}89 + 0{,}11P(B)$$

Вычтем 0,89:

$$0{,}01 = 0{,}11P(B)$$

Разделим:

$$P(B) = \frac{0{,}01}{0{,}11} = \frac{1}{11} \approx 0{,}0909…$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{11}}$