ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень одного из них равна 0,5. Найти вероятность попадания в мишень другого стрелка, если известно, что:

а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;

б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;

в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;

г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.

Вероятность попадания в мишень у одного стрелка равна $P(A) = 0{,}5$;
Найти вероятность попадания в мишень второго стрелка, если:

а) Вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4:

$$P(AB)=P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,4};$$

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}4;$$ $$\mathrm{0,5}P(B)=\mathrm{0,4};$$

$$0{,}5P(B) = 0{,}4;$$ $$5P(B)=4;$$

$$5P(B) = 4;$$ $$P(B) = \frac{4}{5} = 0{,}8;$$

Ответ: 0,8.

б) Вероятность, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45:

$$P(\bar{A}\cdot \bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=\mathrm{0,45};$$

$$P(\overline{A} \cdot \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}45;$$ $$(1-P(A))\cdot (1-P(B))=\mathrm{0,45};$$

$$(1 — P(A)) \cdot (1 — P(B)) = 0{,}45;$$ $$\mathrm{0,5}\cdot (1-P(B))=\mathrm{0,45};$$

$$0{,}5 \cdot (1 — P(B)) = 0{,}45;$$ $$\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}P(B)=\mathrm{0,45};$$

$$0{,}5 — 0{,}5P(B) = 0{,}45;$$ $$10-10P(B)=9;$$

$$10 — 10P(B) = 9;$$ $$P(B) = \frac{10 — 9}{10} = \frac{1}{10} = 0{,}1;$$

Ответ: 0,1.

в) Вероятность, что мишень будет поражена хотя бы раз, равна 0,8:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,8};$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B) = 0{,}8;$$ $$\mathrm{0,5}+P(B)-\mathrm{0,5}\cdot P(B)=\mathrm{0,8};$$

$$0{,}5 + P(B) — 0{,}5 \cdot P(B) = 0{,}8;$$ $$\mathrm{0,5}P(B)=\mathrm{0,3};$$

$$0{,}5P(B) = 0{,}3;$$ $$5P(B)=3;$$

$$5P(B) = 3;$$ $$P(B) = \frac{3}{5} = 0{,}6;$$

Ответ: 0,6.

г) Вероятность, что мишень будет поражена хотя бы раз, равна 0,999:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,999};$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B) = 0{,}999;$$ $$\mathrm{0,5}+P(B)-\mathrm{0,5}\cdot P(B)=\mathrm{0,999};$$

$$0{,}5 + P(B) — 0{,}5 \cdot P(B) = 0{,}999;$$ $$\mathrm{0,5}P(B)=\mathrm{0,499};$$

$$0{,}5P(B) = 0{,}499;$$ $$500P(B)=499;$$

$$500P(B) = 499;$$ $$P(B) = \frac{499}{500} = 0{,}998;$$

Ответ: 0,998.

Условие:

• Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень.
• Вероятность попадания первого стрелка:

  $$P(A) = 0{,}5$$

• Требуется найти вероятность попадания второго стрелка:

  $$P(B) = ?$$

• Даны различные условия о результате стрельбы двух стрелков вместе.

Для решения будем использовать формулы вероятностей для независимых событий.

а) Вероятность того, что мишень будет поражена дважды: $P(A \cap B) = 0{,}4$

Шаг 1: Формула совместного попадания

Для независимых событий:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Подставим:

$$0{,}4 = 0{,}5 \cdot P(B)$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$P(B) = \frac{0{,}4}{0{,}5} = \frac{4}{5} = 0{,}8$$

Ответ: $\boxed{0{,}8}$

б) Вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу: $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}45$

Шаг 1: Формула совместного промаха

$$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 0{,}5$$ $$P(\overline{B}) = 1 — P(B)$$

Для независимых событий:

$$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}5 \cdot (1 — P(B)) = 0{,}45$$

Шаг 2: Решим уравнение

$$0{,}5 \cdot (1 — P(B)) = 0{,}45$$ $$1 — P(B) = \frac{0{,}45}{0{,}5} = 0{,}9$$ $$P(B) = 1 — 0{,}9 = 0{,}1$$

Ответ: $\boxed{0{,}1}$

в) Вероятность, что мишень будет поражена хотя бы один раз: $P(A \cup B) = 0{,}8$

Шаг 1: Формула вероятности суммы двух событий

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B)$$

Подставим:

$$0{,}8 = 0{,}5 + P(B) — 0{,}5 \cdot P(B)$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение

$$0{,}8 = 0{,}5 + P(B)(1 — 0{,}5) = 0{,}5 + 0{,}5P(B)$$

Вычитаем 0.5:

$$0{,}3 = 0{,}5P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{0{,}3}{0{,}5} = \frac{3}{5} = 0{,}6$$

Ответ: $\boxed{0{,}6}$

г) Вероятность, что мишень будет поражена хотя бы один раз: $P(A \cup B) = 0{,}999$

Шаг 1: Используем ту же формулу:

$$P(A \cup B) = 0{,}5 + P(B) — 0{,}5 \cdot P(B)$$ $$0{,}999 = 0{,}5 + 0{,}5P(B)$$

Шаг 2: Решим

$$0{,}499 = 0{,}5P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{0{,}499}{0{,}5} = \frac{499}{500} = 0{,}998$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,998}}}$