ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов,

а) Заполните таблицу распределения вероятностей Р5(k) того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий: Число попаданий, k Р5(k) = С5^k * 0,4^k * 0,65^(5 — k)

б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.

в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.

г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна $p = 0{,}4$;

Стрелок независимо производит пять выстрелов;

а) Таблица распределения вероятностей:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}\text{Число попаданий},k& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ P_5(k)=C_5^k\cdot {\mathrm{0,4}}^k\cdot {\mathrm{0,6}}^{5-k}& \mathrm{0,078}& \mathrm{0,259}& \mathrm{0,346}& \mathrm{0,23}& \mathrm{0,077}& \mathrm{0,01}\end{array}}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Число попаданий},\ k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P_5(k) = C_5^k \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{5-k} & 0{,}078 & 0{,}259 & 0{,}346 & 0{,}23 & 0{,}077 & 0{,}01 \\ \hline \end{array}$$ $$P_5(0)=C_5^0\cdot {\mathrm{0,4}}^0\cdot {\mathrm{0,6}}^5=1\cdot 1\cdot {\mathrm{0,6}}^5=\mathrm{0,07776};$$

$$P_5(0) = C_5^0 \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}6^5 = 0{,}07776;$$ $$P_5(1)=C_5^1\cdot {\mathrm{0,4}}^1\cdot {\mathrm{0,6}}^4=5\cdot \mathrm{0,4}\cdot {\mathrm{0,6}}^4=\mathrm{0,2592};$$

$$P_5(1) = C_5^1 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^4 = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^4 = 0{,}2592;$$ $$P_5(2)=C_5^2\cdot {\mathrm{0,4}}^2\cdot {\mathrm{0,6}}^3=\frac{5\cdot 4}{2}\cdot \mathrm{0,16}\cdot \mathrm{0,216}=\mathrm{0,3456};$$

$$P_5(2) = C_5^2 \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 0{,}3456;$$ $$P_5(3)=C_5^3\cdot {\mathrm{0,4}}^3\cdot {\mathrm{0,6}}^2=\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \mathrm{0,064}\cdot \mathrm{0,36}=\mathrm{0,2304};$$

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304;$$ $$P_5(4)=C_5^4\cdot {\mathrm{0,4}}^4\cdot {\mathrm{0,6}}^1=5\cdot {\mathrm{0,4}}^4\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,0768};$$

$$P_5(4) = C_5^4 \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^1 = 5 \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6 = 0{,}0768;$$ $$P_5(5) = C_5^5 \cdot 0{,}4^5 \cdot 0{,}6^0 = 1 \cdot 0{,}4^5 \cdot 1 = 0{,}01024;$$

б) Вероятность того, что стрелок ни разу не промажет:

$$P_5(5) = 0{,}01024;$$

Ответ: ≈ 0,01.

в) Вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз:

$$P=P_5(2)+P_5(3)+P_5(4)+P_5(5);$$

$$P = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) + P_5(5);$$ $$P = 0{,}3456 + 0{,}2304 + 0{,}0768 + 0{,}01024 = 0{,}66304;$$

Ответ: ≈ 0,663

г) Наиболее вероятное число попаданий в мишень:

$$P_5(2) = 0{,}3456;$$

Ответ: 2.

Условие:

• Вероятность попадания при одном выстреле:

  $$p = 0{,}4$$

• Вероятность промаха:

  $$q = 1 — p = 0{,}6$$

• Стрелок делает 5 независимых выстрелов.
• Нас интересует распределение количества попаданий $k$ от 0 до 5.

а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$

Используем биномиальную формулу:

$$P_5(k) = C_5^k \cdot p^k \cdot q^{5 — k} = C_5^k \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{5 — k}$$

Вычислим вероятности для $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Вычисления по шагам:

$k = 0$

$$P_5(0) = C_5^0 \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}6^5 = 0{,}07776$$

$k = 1$

$$P_5(1) = C_5^1 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^4 = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^4$$ $$= 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}1296 = 5 \cdot 0{,}05184 = 0{,}2592$$

$k = 2$

$$P_5(2) = C_5^2 \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 10 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 10 \cdot 0{,}03456 = 0{,}3456$$

$k = 3$

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 10 \cdot 0{,}02304 = 0{,}2304$$

$k = 4$

$$P_5(4) = C_5^4 \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^1 = 5 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}6 = 5 \cdot 0{,}01536 = 0{,}0768$$

$k = 5$

$$P_5(5) = C_5^5 \cdot 0{,}4^5 \cdot 0{,}6^0 = 1 \cdot 0{,}01024 \cdot 1 = 0{,}01024$$

Готовая таблица:

б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет

Это событие соответствует:

$$k = 5 \Rightarrow P_5(5) = 0{,}01024$$

Ответ: $\boxed{0{,}01024} \approx 0{,}01$

в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз

Это событие: $k = 2, 3, 4, 5$

Складываем соответствующие вероятности:

$$P = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$$ $$P = 0{,}3456 + 0{,}2304 + 0{,}0768 + 0{,}01024 = 0{,}66304$$

Ответ: $\boxed{0{,}66304} \approx 0{,}663$

г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?

Смотрим в таблицу на максимальное значение среди всех вероятностей:

• $P_5(2) = 0{,}3456$ — самое большое значение

Ответ: $\boxed{2}$