ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Случайным образом выбирают одно из решений неравенства

$$\sqrt{x} \leq 10.$$

Найдите вероятность того, что оно:

а) является решением неравенства

$$\sqrt{x} \leq 1;$$

б) принадлежит области определения функции

$$y = \ln(40x — 39 — x^2);$$

в) является решением неравенства

$$\sqrt{x — 10} \leq 5;$$

г) принадлежит области значений функции

$$y = 0{,}5 \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1.$$

Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $\sqrt{x} \leq 10$:

$$\begin{cases} \sqrt{x} \leq 10 \\ x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 100 \\ x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow 0 \leq x \leq 100;$$

а) Вероятность, что оно является решением неравенства $\sqrt{x} \leq 1$:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\le 1\\ x\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\le 1\\ x\ge 0\end{array}\Rightarrow 0\le x\le 1;$$

$$\begin{cases} \sqrt{x} \leq 1 \\ x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 1 \\ x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow 0 \leq x \leq 1;$$ $$P = \frac{1 — 0}{100 — 0} = \frac{1}{100} = 0{,}01;$$

Ответ: 0,01.

б) Вероятность, что оно принадлежит области определения функции:

$$y = \ln(40x — 39 — x^2);$$

Область определения:

$$40x-39-x^2>0;\Rightarrow x^2-40x+39<0;$$

$$40x — 39 — x^2 > 0; \Rightarrow x^2 — 40x + 39 < 0;$$ $$D={40}^2-4\cdot 39=1600-156=1444,\text{ тогда:}$$

$$D = 40^2 — 4 \cdot 39 = 1600 — 156 = 1444, \text{ тогда:}$$ $$x_1=\frac{40-38}{2}=1\text{и}{x}_2=\frac{40+38}{2}=39;$$

$$x_1 = \frac{40 — 38}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{40 + 38}{2} = 39;$$ $$(x — 1)(x — 39) < 0; \Rightarrow 1 < x < 39;$$

Искомая вероятность:

$$P = \frac{39 — 1}{100 — 0} = \frac{38}{100} = 0{,}38;$$

Ответ: 0,38.

в) Вероятность, что оно является решением неравенства $\sqrt{x — 10} \leq 5$:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{x-10}\le 5\\ x-10\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-10\le 25\\ x\ge 10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\le 35\\ x\ge 10\end{array}\Rightarrow 10\le x\le 35;$$

$$\begin{cases} \sqrt{x — 10} \leq 5 \\ x — 10 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x — 10 \leq 25 \\ x \geq 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \leq 35 \\ x \geq 10 \end{cases} \Rightarrow 10 \leq x \leq 35;$$ $$P = \frac{35 — 10}{100 — 0} = \frac{25}{100} = 0{,}25;$$

Ответ: 0,25.

г) Вероятность, что оно принадлежит области значений функции:

$$y = 0{,}5 \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1;$$

Область значений:

$$-1 \leq \sin a \leq 1; \Rightarrow -0{,}5 \leq 0{,}5 \sin a \leq 0{,}5; \Rightarrow 0{,}5 \leq 0{,}5 \sin a + 1 \leq 1{,}5;$$

Искомая вероятность:

$$P = \frac{1{,}5 — 0{,}5}{100 — 0} = \frac{1}{100} = 0{,}01;$$

Ответ: 0,01.

Случайным образом выбирается одно из решений неравенства:

$$\sqrt{x} \leq 10$$

Найти вероятность того, что оно:

а) является решением неравенства $\sqrt{x} \leq 1$;

б) принадлежит области определения функции:

$$y = \ln(40x — 39 — x^2);$$

в) является решением неравенства $\sqrt{x — 10} \leq 5$;

г) принадлежит области значений функции:

$$y = 0{,}5 \cdot \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1$$

Общие сведения:

Начальное неравенство:

$$\sqrt{x} \leq 10 \Rightarrow x \geq 0,\ \ x \leq 100 \Rightarrow 0 \leq x \leq 100$$

Значит, все допустимые значения x лежат в отрезке $[0; 100]$.

Общее количество возможных значений – 100 единиц длины.

Все вероятности будут рассчитываться по формуле:

$$P = \frac{\text{длина благоприятного отрезка}}{100 — 0} = \frac{\text{длина}}{100}$$

а) Вероятность того, что $x$ удовлетворяет $\sqrt{x} \leq 1$

Решим:

$$\sqrt{x} \leq 1 \Rightarrow x \leq 1$$

Учитывая $x \in [0; 100]$, благоприятные значения:

$$x\in [0;1]\Rightarrow \text{длина отрезка}=1$$

$$x \in [0; 1] \Rightarrow \text{длина отрезка} = 1$$ $$P = \frac{1}{100} = \boxed{0{,}01}$$

б) Вероятность того, что $x$ принадлежит области определения функции:

$$y = \ln(40x — 39 — x^2)$$

Область определения логарифма:

$$40x — 39 — x^2 > 0 \Rightarrow -x^2 + 40x — 39 > 0$$

Решим квадратное неравенство:

Найдём корни уравнения:

$$x^2-40x+39=0\Rightarrow D=1600-4\cdot 39=1444\Rightarrow \sqrt{D}=38$$

$$x^2 — 40x + 39 = 0 \Rightarrow D = 1600 — 4 \cdot 39 = 1444 \Rightarrow \sqrt{D} = 38$$ $$x_{1,2} = \frac{40 \pm 38}{2} = \{1,\ 39\}$$

Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы вниз ⇒ выражение положительно между корнями:

$$x\in (1;39)\Rightarrow \text{длина отрезка}=39-1=38$$

$$x \in (1;\ 39) \Rightarrow \text{длина отрезка} = 39 — 1 = 38$$ $$P = \frac{38}{100} = \boxed{0{,}38}$$

в) Вероятность того, что $x$ удовлетворяет $\sqrt{x — 10} \leq 5$

Решим неравенство:

Область определения:

$$x — 10 \geq 0 \Rightarrow x \geq 10$$

Основное неравенство:

$$\sqrt{x — 10} \leq 5 \Rightarrow x — 10 \leq 25 \Rightarrow x \leq 35$$

Итак:

$$x\in [10;35]\Rightarrow \text{длина}=35-10=25$$

$$x \in [10;\ 35] \Rightarrow \text{длина} = 35 — 10 = 25$$ $$P = \frac{25}{100} = \boxed{0{,}25}$$

г) Вероятность, что $x$ принадлежит области значений функции:

$$y = 0{,}5 \cdot \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1$$

Функция вида $y = A \cdot \sin(Bx + C) + D$, здесь:

• Амплитуда $A = 0{,}5$
• Смещение вверх $D = 1$

Стандартная область значений синуса:

$$-1\le \sin (\cdot )\le 1\Rightarrow -\mathrm{0,5}\le \mathrm{0,5}\cdot \sin (\cdot )\le \mathrm{0,5}\Rightarrow \mathrm{0,5}\le y\le \mathrm{1,5}$$

$$\text{Область значений: }[\mathrm{0,5};\mathrm{1,5}]\Rightarrow \text{длина}=1$$

$$\text{Область значений: } [0{,}5;\ 1{,}5] \Rightarrow \text{длина} = 1$$ $$P = \frac{1}{100} = \boxed{0{,}01}$$