ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

В тёмном ящике — 9 билетов, разложенных по одному в одинаковые конверты. Из них 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы наудачу вытаскиваете 3 конверта. Найдите вероятность того, что:

а) все билеты выигрышные;

б) есть ровно один проигрышный билет;

в) есть ровно один выигрышный билет;

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Наудачу вытаскивают 3 билета из 9:
— 5 выигрышных билетов;
— 4 проигрышных билета;

а) Вероятность, что все билеты выигрышные:

$$N=C_9^3=\frac{9!}{3!\cdot 6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3\cdot 2\cdot 6!}=3\cdot 4\cdot 7=84;$$

$$N = C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$N(A)=C_5^3=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=5\cdot 2=10;$$

$$N(A) = C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 5 \cdot 2 = 10;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42};$$

Ответ: $\frac{5}{42}$

б) Вероятность, что есть ровно один проигрышный билет:

$$A=3-1=2;$$

$$A = 3 — 1 = 2;$$ $$N=C_9^3=\frac{9!}{3!\cdot 6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3\cdot 2\cdot 6!}=3\cdot 4\cdot 7=84;$$

$$N = C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$N(A)=4\cdot C_5^2=4\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=20\cdot 2=40;$$

$$N(A) = 4 \cdot C_5^2 = 4 \cdot \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} = 20 \cdot 2 = 40;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21};$$

Ответ: $\frac{10}{21}$

в) Вероятность, что есть ровно один выигрышный билет:

$$A=3-1=2;$$

$$A = 3 — 1 = 2;$$ $$N=C_9^3=\frac{9!}{3!\cdot 6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3\cdot 2\cdot 6!}=3\cdot 4\cdot 7=84;$$

$$N = C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$N(A)=5\cdot C_4^2=5\cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2\cdot 2!}=15\cdot 2=30;$$

$$N(A) = 5 \cdot C_4^2 = 5 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 2!} = 15 \cdot 2 = 30;$$ $$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14};$$

Ответ: $\frac{5}{14}$

г) Вероятность, что есть хотя бы один выигрышный билет:

$$N=C_9^3=\frac{9!}{3!\cdot 6!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3\cdot 2\cdot 6!}=3\cdot 4\cdot 7=84;$$

$$N = C_9^3 = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{3 \cdot 2 \cdot 6!} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84;$$ $$N(\bar{A})=C_4^3=C_4^1=4;$$

$$N(\overline{A}) = C_4^3 = C_4^1 = 4;$$ $$P(\bar{A})=\frac{N(\bar{A})}{N}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21};$$

$$P(\overline{A}) = \frac{N(\overline{A})}{N} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21};$$ $$P(A) = 1 — P(\overline{A}) = 1 — \frac{1}{21} = \frac{20}{21};$$

Ответ: $\frac{20}{21}$

Дано:

• Всего билетов: 9
• Выигрышных: 5
• Проигрышных: 4
• Выбираются случайно 3 билета из 9 без возвращения, одновременно, то есть без учёта порядка.

Общее число всех возможных троек билетов:

Это количество способов выбрать 3 любых билета из 9:

$$N = C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$$

а) Найти вероятность того, что все билеты — выигрышные

То есть, из 5 выигрышных билетов выбраны 3.

Количество благоприятных исходов:

$$N(A) = C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$$

Вероятность:

$$P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$$

Ответ (а): $\boxed{\dfrac{5}{42}}$

б) Найти вероятность того, что среди выбранных билетов ровно один проигрышный

Значит:

• 1 билет проигрышный;
• 2 билета выигрышные.

Шаг 1. Выбрать 1 проигрышный из 4:

$$C_4^1 = 4$$

Шаг 2. Выбрать 2 выигрышных из 5:

$$C_5^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Общее число благоприятных исходов:

$$N(B) = 4 \cdot 10 = 40$$

Вероятность:

$$P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$$

Ответ (б): $\boxed{\dfrac{10}{21}}$

в) Найти вероятность того, что ровно один билет — выигрышный

То есть:

• 1 выигрышный билет;
• 2 проигрышных билета.

Шаг 1. Выбрать 1 выигрышный из 5:

$$C_5^1 = 5$$

Шаг 2. Выбрать 2 проигрышных из 4:

$$C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$$

Общее число благоприятных исходов:

$$N(C) = 5 \cdot 6 = 30$$

Вероятность:

$$P(C) = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$$

Ответ (в): $\boxed{\dfrac{5}{14}}$

г) Найти вероятность того, что среди выбранных билетов хотя бы один выигрышный

Это событие — дополнение к событию: «все три билета — проигрышные».

Всего проигрышных билетов: 4
Найдём число троек, составленных только из проигрышных:

$$N(D’) = C_4^3 = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4$$

Вероятность того, что все 3 проигрышные:

$$P(D’) = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$$

Тогда вероятность того, что хотя бы один выигрышный:

$$P(D) = 1 — P(D’) = 1 — \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$$

Ответ (г): $\boxed{\dfrac{20}{21}}$

Окончательные ответы:

а) $\dfrac{5}{42}$

б) $\dfrac{10}{21}$

в) $\dfrac{5}{14}$

г) $\dfrac{20}{21}$