ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу:

а) решили оба ученика;

б) решил первый, но не решил второй ученик;

в) решил второй, но не решил первый ученик?

г) Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.

Всего в списке 50 задач, из них:
$A = 44$ — задачи решил первый ученик;
$B = 26$ — задач решил второй ученик;

а) Вероятность, что случайную задачу решили оба ученика:

$$N(AB)=(A+B)-N=(44+26)-50=20;$$

$$N(AB) = (A + B) — N = (44 + 26) — 50 = 20;$$ $$P(AB) = \frac{N(AB)}{N} = \frac{20}{50} = 0{,}4;$$

Ответ: $0{,}4$

б) Вероятность, что случайную задачу решил только первый ученик:

$$N(AB)=(A+B)-N=(44+26)-50=20;$$

$$N(AB) = (A + B) — N = (44 + 26) — 50 = 20;$$ $$N(A\bar{B})=A-N(AB)=44-20=24;$$

$$N(A\overline{B}) = A — N(AB) = 44 — 20 = 24;$$ $$P(A\overline{B}) = \frac{N(A\overline{B})}{N} = \frac{24}{50} = 0{,}48;$$

Ответ: $0{,}48$

в) Вероятность, что случайную задачу решил только второй ученик:

$$N(AB)=(A+B)-N=(44+26)-50=20;$$

$$N(AB) = (A + B) — N = (44 + 26) — 50 = 20;$$ $$N(\bar{A}B)=B-N(AB)=26-20=6;$$

$$N(\overline{A}B) = B — N(AB) = 26 — 20 = 6;$$ $$P(\overline{A}B) = \frac{N(\overline{A}B)}{N} = \frac{6}{50} = 0{,}12;$$

Ответ: $0{,}12$

г) Ответы в пунктах а) и б) будут одинаковы, если:

$$P(A\bar{B})=P(AB);$$

$$P(A\overline{B}) = P(AB);$$ $$\frac{N(A\bar{B})}{N}=\frac{N(AB)}{N};$$

$$\frac{N(A\overline{B})}{N} = \frac{N(AB)}{N};$$ $$A-N(AB)=N(AB);$$

$$A — N(AB) = N(AB);$$ $$2N(AB)=A;$$

$$2N(AB) = A;$$ $$2(A+B-N)=A;$$

$$2(A + B — N) = A;$$ $$2N=A+2B;$$

$$2N = A + 2B;$$ $$N = \frac{A}{2} + B = \frac{44}{2} + 26 = 22 + 26 = 48;$$

Ответ: в списке $\boxed{48}$ задач.

Условие:

• Всего задач в списке: $N = 50$
• Первый ученик решил $A = 44$ задач
• Второй ученик решил $B = 26$ задач
• Известно, что каждая из 50 задач решена хотя бы одним учеником
  То есть множество задач, решённых хотя бы одним — это объединение: $A \cup B = N = 50$

Найти:

Вероятности того, что случайно выбранная задача:

а) решена обоими учениками
б) решена только первым
в) решена только вторым
г) Изменить общее число задач, чтобы вероятности из (а) и (б) совпали

Общие обозначения:

• $A \cap B$ — задачи, которые решены обоими учениками
• $A \setminus B$ — задачи, решённые только первым
• $B \setminus A$ — задачи, решённые только вторым

Шаг 1. Найдём количество задач, решённых обоими

По формуле включения-исключения:

$$\mathrm{\mid }A\cup B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }\Rightarrow 50=44+26-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }\Rightarrow$$

$$|A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B| \Rightarrow 50 = 44 + 26 — |A \cap B| \Rightarrow |A \cap B| = 70 — 50 = 20$$

Значит, 20 задач решены обоими учениками.

а) Вероятность, что задачу решили оба ученика

$$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{N} = \frac{20}{50} = 0{,}4$$

Ответ (а): $\boxed{0{,}4}$

б) Вероятность, что задачу решил только первый ученик

Это задачи из $A \setminus B$:

$$|A \setminus B| = |A| — |A \cap B| = 44 — 20 = 24$$ $$P(A \setminus B) = \frac{24}{50} = 0{,}48$$

Ответ (б): $\boxed{0{,}48}$

в) Вероятность, что задачу решил только второй ученик

Это задачи из $B \setminus A$:

$$|B \setminus A| = |B| — |A \cap B| = 26 — 20 = 6$$ $$P(B \setminus A) = \frac{6}{50} = 0{,}12$$

Ответ (в): $\boxed{0{,}12}$

г) При каком числе задач вероятности (а) и (б) будут одинаковыми?

Требуемое условие:

$$P(A \cap B) = P(A \setminus B)$$

Через количество:

$$\frac{\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }}{N}=\frac{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }}{N}\Rightarrow \mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }\Rightarrow 2\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\Rightarrow$$

$$\frac{|A \cap B|}{N} = \frac{|A| — |A \cap B|}{N} \Rightarrow |A \cap B| = |A| — |A \cap B| \Rightarrow 2|A \cap B| = |A| \Rightarrow |A \cap B| = \frac{A}{2} \Rightarrow \text{Подставим } A = 44 \Rightarrow |A \cap B| = 22$$

Теперь найдём новое общее число задач $N’$, зная:

$$N’ = |A \cup B| = |A| + |B| — |A \cap B| = 44 + 26 — 22 = 48$$

Ответ (г): $\boxed{48}$ задач должно быть в списке, чтобы вероятности совпали

Окончательные ответы:

а) $\boxed{0{,}4}$
б) $\boxed{0{,}48}$
в) $\boxed{0{,}12}$
г) $\boxed{48}$ задач должно быть в списке для равенства вероятностей