ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Опишите произведение следующих событий А и В:

а) А — у случайным образом составленного квадратного уравнения есть корни; В — дискриминант уравнения отрицателен;

б) А — у случайным образом составленного квадратного уравнения нет корней; В — дискриминант уравнения неположителен;

в) А — случайным образом выбранная функция у = f(x), х принадлежит R возрастает; В — верно неравенство f(99) < f(100);

г) А — случайным образом выбранная числовая последовательность является геометрической прогрессией; В — первые два её члена положительны, а следующие два — отрицательны.

Описать произведение следующих событий А и В:

а) А — у случайным образом составленного квадратного уравнения есть корни;
В — дискриминант уравнения отрицателен;
Ответ: АВ — невозможное событие.

б) А — у случайным образом составленного квадратного уравнения нет корней;
В — дискриминант уравнения неположителен;
Ответ: АВ — дискриминант этого уравнения отрицателен.

в) А — случайным образом выбранная функция $y = f(x),\ x \in \mathbb{R}$ возрастает;
В — верно неравенство $f(99) < f(100)$;
Ответ: АВ — тоже, что и событие А.

г) А — случайным образом выбранная числовая последовательность является геометрической прогрессией;
В — первые два ее члена положительны, а следующие два отрицательны;
Ответ: АВ — невозможное событие.

а)

A — у случайным образом составленного квадратного уравнения есть корни
B — дискриминант уравнения отрицателен

Анализ:

• Квадратное уравнение имеет вид:

  $$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0$$

• Корни уравнения зависят от дискриминанта:

  $$D = b^2 — 4ac$$

  и:

  • если $D > 0$ — два различных вещественных корня;
  • если $D = 0$ — один (двукратный) вещественный корень;
  • если $D < 0$ — нет вещественных корней (корней нет в $\mathbb{R}$)

Вывод:

• Событие A (есть корни) означает $D \geq 0$
• Событие B (дискриминант отрицателен) означает $D < 0$
• Эти условия противоречат друг другу — не могут выполняться одновременно

Ответ:

$$AB \text{ — невозможное событие}$$

б)

A — у случайным образом составленного квадратного уравнения нет корней
B — дискриминант уравнения неположителен

Анализ:

• Как уже указано:
  • $D > 0$ — два корня;
  • $D = 0$ — один корень;
  • $D < 0$ — корней нет
• Событие A: нет корней $\Rightarrow D < 0$
• Событие B: дискриминант неположителен $\Rightarrow D \leq 0$

Вывод:

• Если одновременно выполняется $D < 0$ и $D \leq 0$, то результатом произведения будет:

  $$AB \Rightarrow D < 0$$

Ответ:

$$AB \text{ — дискриминант этого уравнения отрицателен}$$

в)

A — функция $y = f(x),\ x \in \mathbb{R}$ возрастает
B — выполнено неравенство $f(99) < f(100)$

Анализ:

• Монотонно возрастающая функция — это такая функция, для которой:

  $$\forall x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$$

  (нестрого возрастает)

• Если дополнительно:

  $$f(x_1) < f(x_2) \quad \text{для всех } x_1 < x_2,$$

  то функция строго возрастает

• Событие B — одно частное неравенство на двух конкретных значениях аргумента:

  $$f(99) < f(100)$$

Вывод:

• Если функция $f(x)$ возрастает на всём $\mathbb{R}$, то в частности, это неравенство $f(99) < f(100)$ обязательно выполнено.
• То есть, событие $B$ следует из события $A$.
  Поэтому их пересечение — то же самое, что событие $A$

Ответ:

$$AB \text{ — то же, что и событие } A$$

г)

A — числовая последовательность — геометрическая прогрессия
B — первые два члена положительны, а следующие два — отрицательны

Анализ:

• Геометрическая прогрессия:

  $$a_1,\ a_2 = a_1 \cdot q,\ a_3 = a_1 \cdot q^2,\ a_4 = a_1 \cdot q^3,\ \ldots$$

• Событие B означает:

  $$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 < 0,\quad a_4 < 0$$

• Это возможно только если:
  • $a_1 > 0$
  • $q > 0 \Rightarrow a_2 > 0$
  • $a_3 = a_1 q^2 > 0$, а не меньше 0 → противоречие

Проверим возможность $q < 0$:

• Если $q < 0$, то:
  • $a_1 > 0$
  • $a_2 = a_1 \cdot q < 0$ → противоречит $a_2 > 0$

Вывод:

• Нельзя одновременно получить $a_1 > 0$, $a_2 > 0$, $a_3 < 0$, $a_4 < 0$ из геометрической прогрессии

Ответ:

$$AB \text{ — невозможное событие}$$

Окончательные ответы:

а) $AB$ — невозможное событие
б) $AB$ — дискриминант уравнения отрицателен
в) $AB$ — то же, что и событие $A$
г) $AB$ — невозможное событие