ГДЗ 10-11 Класс Номер 54.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны соответственно 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень:

а) будет поражена дважды;

б) не будет поражена ни разу;

в) будет поражена хотя бы один раз;

г) будет поражена ровно один раз.

Два стрелка независимо друг от друга стреляют в мишень:
$P(A) = 0{,}8$ – вероятность попадания у первого стрелка;
$P(B) = 0{,}6$ – вероятность попадания у второго стрелка;

а) Вероятность, что мишень будет поражена дважды:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}8 \cdot 0{,}6 = 0{,}48;$$

Ответ: 0,48.

б) Вероятность, что мишень не будет поражена ни разу:

$$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2};$$

$$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — 0{,}8 = 0{,}2;$$ $$P(\bar{B})=1-P(B)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4};$$

$$P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — 0{,}6 = 0{,}4;$$ $$P(\overline{A} \cdot \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}2 \cdot 0{,}4 = 0{,}08;$$

Ответ: 0,08.

в) Вероятность, что мишень будет поражена хотя бы один раз:

$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B);$$

$$P(A + B) = P(A) + P(B) — P(A) \cdot P(B);$$ $$P(A + B) = 0{,}8 + 0{,}6 — 0{,}8 \cdot 0{,}6 = 1{,}4 — 0{,}48 = 0{,}92;$$

Ответ: 0,92.

г) Вероятность, что мишень будет поражена ровно один раз:

$$P=P(A+B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB);$$

$$P = P(A + B) — P(AB) = P(A) + P(B) — 2P(AB);$$ $$P = 0{,}8 + 0{,}6 — 2 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}6 = 1{,}4 — 0{,}96 = 0{,}44;$$

Ответ: 0,44.

Условие задачи:

Два стрелка независимо стреляют по мишени по одному разу.
Дано:

• Вероятность попадания первого стрелка:

  $$P(A) = 0{,}8$$

• Вероятность попадания второго стрелка:

  $$P(B) = 0{,}6$$

Все события — независимые, потому что стрелки стреляют независимо друг от друга.

а) Найти вероятность того, что мишень будет поражена дважды

(то есть оба стрелка попали)

Это означает, что произошло событие:

$$A \cap B$$

Для независимых событий:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Подставим:

$$P(A \cap B) = 0{,}8 \cdot 0{,}6 = 0{,}48$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}48}$$

б) Найти вероятность, что мишень не будет поражена ни разу

(то есть оба промахнулись)

Событие: $\overline{A} \cap \overline{B}$

Вероятность промаха:

• у первого стрелка:

  $$P(\overline{A}) = 1 — P(A) = 1 — 0{,}8 = 0{,}2$$

• у второго стрелка:

  $$P(\overline{B}) = 1 — P(B) = 1 — 0{,}6 = 0{,}4$$

Теперь перемножим:

$$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}2 \cdot 0{,}4 = 0{,}08$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}08}$$

в) Найти вероятность, что мишень будет поражена хотя бы один раз

Событие:

$$A \cup B \quad \text{(то есть попал хотя бы один)}$$

Используем формулу для суммы двух событий:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)$$

Мы уже знаем:

• $P(A) = 0{,}8$
• $P(B) = 0{,}6$
• $P(A \cap B) = 0{,}48$

Вычислим:

$$P(A \cup B) = 0{,}8 + 0{,}6 — 0{,}48 = 1{,}4 — 0{,}48 = 0{,}92$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}92}$$

Проверка:
Это также можно получить как дополнение к «оба промахнулись»:

$$P(\text{хотя бы один попал}) = 1 — P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 — 0{,}08 = 0{,}92$$

г) Найти вероятность, что мишень будет поражена ровно один раз

Здесь возможны два случая:

1. Первый попал, второй промахнулся: $A \cap \overline{B}$
2. Первый промахнулся, второй попал: $\overline{A} \cap B$

Эти случаи взаимоисключающие, значит:

$$P(\text{ровно один раз}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$$

Вычислим каждый:

1. $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}8 \cdot 0{,}4 = 0{,}32$
2. $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}2 \cdot 0{,}6 = 0{,}12$

Сложим:

$$P(\text{ровно один}) = 0{,}32 + 0{,}12 = 0{,}44$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}44}$$

Альтернативно можно использовать:

$$P(\text{ровно один})=P(A\cup B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,92}-\mathrm{0,48}=\mathrm{0,44}$$