ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Равносильно ли уравнение $2^x=256$ уравнению:

а) $\log_2 x = 3$;

б) $x^2 — 9x + 8 = 0$;

в) $3x^2 — 24x = 0$;

г) $\frac{16}{x} = 2$

Равносильно ли уравнение $2^x = 256$ данному уравнению;

Решения уравнения:

$$2^x=256;$$

$$2^x = 256;$$ $$2^x=2^8;$$

$$2^x = 2^8;$$ $$x = 8;$$

а) $\log_2 x = 3$;

$$x = 2^3 = 8;$$

Ответ: да.

б) $x^2 — 9x + 8 = 0$;

$$D=9^2-4\cdot 8=81-32=49,\text{ тогда:}$$

$$D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,\ \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1\quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;$$

Ответ: нет.

в) $3x^2 — 24x = 0$;

$$x^2-8x=0;$$

$$x^2 — 8x = 0;$$ $$x(x-8)=0;$$

$$x(x — 8) = 0;$$ $$x_1 = 0\quad \text{и} \quad x_2 = 8;$$

Ответ: нет.

г) $\frac{16}{x} = 2$;

$$\frac{2x-16}{x}=0;$$

$$\frac{2x — 16}{x} = 0;$$ $$\frac{x-8}{x}=0;$$

$$\frac{x — 8}{x} = 0;$$ $$x = 8;$$

Ответ: да.

Рассмотрим уравнение:

$$2^x = 256$$

Шаг 1. Приведём правую часть к основанию 2:

$$256 = 2^8,\quad \Rightarrow\quad 2^x = 2^8$$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$$x = 8$$

Решение исходного уравнения: $x = 8$

Теперь сравним с другими уравнениями.

а) Уравнение:

$$\log_2 x = 3$$

Шаг 1. Преобразуем логарифмическое уравнение в показательную форму:

$$x = 2^3 = 8$$

Вывод: уравнение имеет единственное решение $x = 8$, совпадающее с решением исходного уравнения.

Ответ: да (уравнения равносильны).

б) Уравнение:

$$x^2 — 9x + 8 = 0$$

Шаг 1. Найдём дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49$$

Шаг 2. Находим корни:

$$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}$$ $$x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8$$

Вывод: уравнение имеет два корня: $x = 1$ и $x = 8$.
Поскольку решение исходного уравнения — только $x = 8$, это уравнение неравносильно исходному.

Ответ: нет.

в) Уравнение:

$$3x^2 — 24x = 0$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель:

$$3x(x — 8) = 0$$

Шаг 2. Найдём корни:

$$x = 0\quad \text{или} \quad x = 8$$

Вывод: уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 8$.
Исходное уравнение имеет только один корень $x = 8$,
поэтому уравнение неравносильно исходному.

Ответ: нет.

г) Уравнение:

$$\frac{16}{x} = 2$$

Шаг 1. Умножим обе части на $x$:

$$16 = 2x$$

Шаг 2. Разделим обе части на 2:

$$x = 8$$

Вывод: уравнение имеет единственное решение $x = 8$, совпадающее с решением исходного уравнения.

Ответ: да.