Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{x^{4}-3x-1}=x^{2}-1 \);
б) \( \sqrt{x^{4}-3x-1}=1-x^{2} \);
в) \( \sqrt{x^{4}+x-9}=1-x^{2} \);
г) \( \sqrt{x^{4}+x-9}=x^{2}-1 \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{x^{4}-3x-1}=x^{2}-1 \);
\( x^{4}-3x-1=(x^{2}-1)^{2} \);
\( x^{4}-3x-1=x^{4}-2x^{2}+1 \);
\( 2x^{2}-3x-2=0 \);
\( D=3^{2}+4\cdot2\cdot2=9+16=25 \), тогда:
\( x_{1}=\frac{3-5}{2\cdot2}=-\frac{2}{4}=-0{,}5 \);
\( x_{2}=\frac{3+5}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2 \);
Выполним проверку:
\( (-0{,}5)^{2}-1=-0{,}75<0 \);
\( \sqrt{2^{4}-3\cdot2-1-(2^{2}-1)}=\sqrt{9}-3=0 \);
Ответ: 2.
б) \( \sqrt{x^{4}-3x-1}=1-x^{2} \);
\( x^{4}-3x-1=(1-x^{2})^{2} \);
\( x^{4}-3x-1=1-2x^{2}+x^{4} \);
\( 2x^{2}-3x-2=0 \);
\( D=3^{2}+4\cdot2\cdot2=9+16=25 \), тогда:
\( x_{1}=\frac{3-5}{2\cdot2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}=-0{,}5 \);
\( x_{2}=\frac{3+5}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2 \);
Выполним проверку:
\( \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{4}-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-1-\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}\right)}=\sqrt{\frac{9}{16}}-\frac{3}{4}=0 \);
\( 1-2^{2}=-3<0 \);
Ответ: \( -0{,}5 \).
в) \( \sqrt{x^{4}+x-9}=1-x^{2} \);
\( x^{4}+x-9=(1-x^{2})^{2} \);
\( x^{4}+x-9=1-2x^{2}+x^{4} \);
\( 2x^{2}+x-10=0 \);
\( D=1^{2}+4\cdot2\cdot10=1+80=81 \), тогда:
\( x_{1}=\frac{-1-9}{2\cdot2}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2} \);
\( x_{2}=\frac{-1+9}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2 \);
Выполним проверку:
\( 1-\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{21}{4}<0 \);
\( 1-2^{2}=-3<0 \);
Ответ: корней нет.
г) \( \sqrt{x^{4}+x-9}=x^{2}-1 \);
\( x^{4}+x-9=(x^{2}-1)^{2} \);
\( x^{4}+x-9=x^{4}-2x^{2}+1 \);
\( 2x^{2}+x-10=0 \);
\( D=1^{2}+4\cdot2\cdot10=1+80=81 \), тогда:
\( x_{1}=\frac{-1-9}{2\cdot2}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}=-2{,}5 \);
\( x_{2}=\frac{-1+9}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2 \);
Выполним проверку:
\( \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)-9-\left(\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-1\right)}=\sqrt{\frac{441}{16}}-\frac{21}{4}=0 \);
\( \sqrt{2^{4}+2-9-(2^{2}-1)}=\sqrt{9}-3=0 \);
Ответ: \( -2{,}5;\ 2 \).
а) \( \sqrt{x^{4} — 3x — 1} = x^{2} — 1 \)
Шаг 1: Возведём обе части уравнения в квадрат:
\( \left( \sqrt{x^{4} — 3x — 1} \right)^{2} = (x^{2} — 1)^{2} \)
\( x^{4} — 3x — 1 = x^{4} — 2x^{2} + 1 \)
Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону:
\( x^{4} — 3x — 1 — x^{4} + 2x^{2} — 1 = 0 \)
\( -3x + 2x^{2} — 2 = 0 \)
Преобразуем к стандартному виду:
\( 2x^{2} — 3x — 2 = 0 \)
Шаг 3: Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \)
Корни:
\( x_{1} = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5 \)
\( x_{2} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)
Шаг 4: Проверка корней:
Подставим \( x = -0{,}5 \):
\( x^{2} — 1 = (-0{,}5)^{2} — 1 = 0{,}25 — 1 = -0{,}75 \), а подкоренное выражение положительное, но корень не может быть равен отрицательному числу, поэтому не подходит.
Подставим \( x = 2 \):
\( x^{2} — 1 = 4 — 1 = 3 \)
\( \sqrt{x^{4} — 3x — 1} = \sqrt{16 — 6 — 1} = \sqrt{9} = 3 \)
Левая часть равна правой: корень подходит.
Ответ: \( 2 \)
б) \( \sqrt{x^{4} — 3x — 1} = 1 — x^{2} \)
Шаг 1: Возведём обе части в квадрат:
\( x^{4} — 3x — 1 = (1 — x^{2})^{2} = 1 — 2x^{2} + x^{4} \)
Шаг 2: Переносим всё в одну сторону:
\( x^{4} — 3x — 1 — 1 + 2x^{2} — x^{4} = 0 \)
\( -3x + 2x^{2} — 2 = 0 \)
Приведём к стандартному виду:
\( 2x^{2} — 3x — 2 = 0 \)
Шаг 3: Решим квадратное уравнение:
\( D = (-3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 \)
\( x_{1} = \frac{3 — 5}{4} = -0{,}5 \)
\( x_{2} = \frac{3 + 5}{4} = 2 \)
Шаг 4: Проверка:
Для \( x = -0{,}5 \):
\( 1 — x^{2} = 1 — 0{,}25 = 0{,}75 \)
Подкоренное: \( x^{4} — 3x — 1 = 0{,}0625 + 1{,}5 — 1 = 0{,}5625 \)
\( \sqrt{0{,}5625} \approx 0{,}75 \) — совпадает: корень подходит
Для \( x = 2 \):
\( 1 — x^{2} = 1 — 4 = -3 \), а корень не может быть отрицательным. Не подходит.
Ответ: \( -0{,}5 \)
в) \( \sqrt{x^{4} + x — 9} = 1 — x^{2} \)
Шаг 1: Возведём обе части в квадрат:
\( x^{4} + x — 9 = (1 — x^{2})^{2} = 1 — 2x^{2} + x^{4} \)
Шаг 2: Переносим всё в одну сторону:
\( x^{4} + x — 9 — 1 + 2x^{2} — x^{4} = 0 \)
\( 2x^{2} + x — 10 = 0 \)
Шаг 3: Решим квадратное уравнение:
\( D = 1^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1 + 80 = 81 \)
\( x_{1} = \frac{-1 — 9}{4} = -\frac{5}{2} \)
\( x_{2} = \frac{-1 + 9}{4} = 2 \)
Шаг 4: Проверка:
Для \( x = -\frac{5}{2} \):
\( 1 — x^{2} = 1 — \left( \frac{25}{4} \right) = -\frac{21}{4} < 0 \) — не подходит
Для \( x = 2 \):
\( 1 — x^{2} = -3 < 0 \) — не подходит
Ответ: корней нет
г) \( \sqrt{x^{4} + x — 9} = x^{2} — 1 \)
Шаг 1: Возводим обе части в квадрат:
\( x^{4} + x — 9 = (x^{2} — 1)^{2} = x^{4} — 2x^{2} + 1 \)
Шаг 2: Переносим всё в одну сторону:
\( x^{4} + x — 9 — x^{4} + 2x^{2} — 1 = 0 \)
\( 2x^{2} + x — 10 = 0 \)
Шаг 3: Решим квадратное уравнение:
\( D = 1^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 \)
\( x_{1} = \frac{-1 — 9}{4} = -\frac{5}{2} = -2{,}5 \)
\( x_{2} = \frac{-1 + 9}{4} = 2 \)
Шаг 4: Проверка:
Для \( x = -2{,}5 \):
Правая часть: \( x^{2} — 1 = 6{,}25 — 1 = 5{,}25 \)
Левая часть: \( \sqrt{x^{4} + x — 9} = \sqrt{39{,}0625 — 2{,}5 — 9} = \sqrt{27{,}5625} \approx 5{,}25 \)
Равенство выполняется — подходит
Для \( x = 2 \):
Правая часть: \( x^{2} — 1 = 4 — 1 = 3 \)
Левая часть: \( \sqrt{x^{4} + x — 9} = \sqrt{16 + 2 — 9} = \sqrt{9} = 3 \)
Равенство выполняется — подходит
Ответ: \( -2{,}5;\ 2 \)
