ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( (x^2 — 9)(\sqrt{3 — 2x} — x) = 0 \);

б) \( (x^2 — 16)(\sqrt{4 — 3x} — x) = 0 \)

Решить уравнение:

а) \( (x^2 — 9)(\sqrt{3 — 2x} — x) = 0 \);

Первое уравнение:
\( x^2 — 9 = 0; \)
\( x^2 = 9; \)
\( x = \pm 3; \)

Второе уравнение:
\( \sqrt{3 — 2x} — x = 0; \)
\( \sqrt{3 — 2x} = x; \)
\( 3 — 2x = x^2; \)
\( x^2 + 2x — 3 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)

Выражение имеет смысл при:
\( 3 — 2x \geq 0; \)
\( 2x \leq 3; \)
\( x \leq 1{,}5; \)

Ответ: \( -3;\ 1 \)

б) \( (x^2 — 16)(\sqrt{4 — 3x} — x) = 0 \);

Первое уравнение:
\( x^2 — 16 = 0; \)
\( x^2 = 16; \)
\( x = \pm 4; \)

Второе уравнение:
\( \sqrt{4 — 3x} — x = 0; \)
\( \sqrt{4 — 3x} = x; \)
\( 4 — 3x = x^2; \)
\( x^2 + 3x — 4 = 0; \)
\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1; \)

Выражение имеет смысл при:
\( 4 — 3x \geq 0; \)
\( 3x \leq 4; \)
\( x \leq 1\frac{1}{3}; \)

Ответ: \( -4;\ 1 \)

Решение уравнений

а) Решить уравнение:

\((x^2 — 9)(\sqrt{3 — 2x} — x) = 0.\)

Шаг 1. Разложим уравнение на два множителя.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

1) \((x^2 — 9) = 0,\)
2) \((\sqrt{3 — 2x} — x) = 0.\)

Шаг 2. Решаем первое уравнение.

\(x^2 — 9 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 9.\)

Извлекая квадратный корень:
\(x = \pm 3.\)

Таким образом, возможные решения: \(x = -3\) и \(x = 3.\)

Шаг 3. Решаем второе уравнение.

\(\sqrt{3 — 2x} — x = 0.\)
Переносим \(x:\)
\(\sqrt{3 — 2x} = x.\)

Возводим обе части в квадрат:
\((\sqrt{3 — 2x})^2 = x^2,\)
\(3 — 2x = x^2.\)

Приводим к квадратному уравнению:
\(x^2 + 2x — 3 = 0.\)

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.

Дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\)

Корни:
\(x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3,\)
\(x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1.\)

Таким образом, из второго уравнения получаем: \(x = -3\) или \(x = 1.\)

Шаг 5. Проверим область определения (ОДЗ).

Так как в уравнении присутствует корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(3 — 2x \geq 0.\)

Решаем неравенство:
\(-2x \geq -3,\)
\(x \leq 1.5.\)

Значит, решение должно удовлетворять условию \(x \leq 1.5.\)

Шаг 6. Итог для пункта а).

Из всех найденных значений \(x = -3, 1, 3\) остаются только те, что удовлетворяют условию \(x \leq 1.5.\)
Это \(x = -3\) и \(x = 1.\)
Корень \(x = 3\) не подходит.

\(\textbf{Ответ: } -3;\;1.\)

б) Решить уравнение:

\((x^2 — 16)(\sqrt{4 — 3x} — x) = 0.\)

Шаг 1. Разложим на два множителя.

1) \((x^2 — 16) = 0,\)
2) \((\sqrt{4 — 3x} — x) = 0.\)

Шаг 2. Решаем первое уравнение.

\(x^2 — 16 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 16.\)

Извлекая квадратный корень:
\(x = \pm 4.\)

Таким образом, возможные решения: \(x = -4\) и \(x = 4.\)

Шаг 3. Решаем второе уравнение.

\(\sqrt{4 — 3x} — x = 0.\)
Переносим \(x:\)
\(\sqrt{4 — 3x} = x.\)

Возводим обе части в квадрат:
\((\sqrt{4 — 3x})^2 = x^2,\)
\(4 — 3x = x^2.\)

Приводим к квадратному уравнению:
\(x^2 + 3x — 4 = 0.\)

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.

Дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\)

Корни:
\(x_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 — 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4,\)
\(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1.\)

Таким образом, из второго уравнения получаем: \(x = -4\) или \(x = 1.\)

Шаг 5. Проверим область определения (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(4 — 3x \geq 0.\)

Решаем неравенство:
\(-3x \geq -4,\)
\(x \leq \frac{4}{3}.\)

Таким образом, допустимые значения: \(x \leq 1.\overline{3}.\)

Шаг 6. Итог для пункта б).

Из всех найденных значений \(x = -4, 4, 1\) подходит только то, что удовлетворяет условию \(x \leq 1.\overline{3}.\)
Корень \(x = 4\) не подходит.

\(\textbf{Ответ: } -4;\;1.\)