ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \sin 2x \cdot \sqrt{4 — x^2} = 0 \);

б) \( (\cos 2x — 1) \cdot \sqrt{9 — x^2} = 0 \);

в) \( (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 — x^2} = 0 \);

г) \( {tg} x \cdot \sqrt{16 — x^2} = 0 \)

Решить уравнение:

а) \( \sin 2x \cdot \sqrt{4 — x^2} = 0 \);

Выражение имеет смысл при:
\( 4 — x^2 \geq 0 \);
\( x^2 — 4 \leq 0 \);
\( (x + 2)(x — 2) \leq 0 \);
\( -2 \leq x \leq 2 \);

Первое уравнение:
\( \sin 2x = 0 \);
\( 2x = \pi n \);
\( x = \frac{\pi n}{2} \);

Второе уравнение:
\( 4 — x^2 = 0 \);
\( x = \pm 2 \);

Ответ: \( -2;\; -\frac{\pi}{2};\; 0;\; \frac{\pi}{2};\; 2 \).

б) \( (\cos 2x — 1) \cdot \sqrt{9 — x^2} = 0 \);

Выражение имеет смысл при:
\( 9 — x^2 \geq 0 \);
\( x^2 — 9 \leq 0 \);
\( (x + 3)(x — 3) \leq 0 \);
\( -3 \leq x \leq 3 \);

Первое уравнение:
\( \cos 2x — 1 = 0 \);
\( \cos 2x = 1 \);
\( 2x = 2\pi n \);
\( x = \pi n \);

Второе уравнение:
\( 9 — x^2 = 0 \);
\( x = \pm 3 \);

Ответ: \( -3;\; 0;\; 3 \).

в) \( (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 — x^2} = 0 \);

Выражение имеет смысл при:
\( 1 — x^2 \geq 0 \);
\( x^2 — 1 \leq 0 \);
\( (x + 1)(x — 1) \leq 0 \);
\( -1 \leq x \leq 1 \);

Первое уравнение:
\( \cos^2 x — \sin^2 x = 0 \);
\( \cos 2x = 0 \);
\( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \);
\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \);

Второе уравнение:
\( 1 — x^2 = 0 \);
\( x = \pm 1 \);

Ответ: \( -1;\; -\frac{\pi}{4};\; \frac{\pi}{4};\; 1 \).

г) \( {tg} x \cdot \sqrt{16 — x^2} = 0 \);

Выражение имеет смысл при:
\( 16 — x^2 \geq 0 \);
\( x^2 — 16 \leq 0 \);
\( (x + 4)(x — 4) \leq 0 \);
\( -4 \leq x \leq 4 \);

Первое уравнение:
\( {tg} x = 0 \);
\( x = {arctg} 0 + \pi n = \pi n \);

Второе уравнение:
\( 16 — x^2 = 0 \);
\( x = \pm 4 \);

Ответ: \( -4;\; -\pi;\; 0;\; \pi;\; 4 \).

а) \( \sin 2x \cdot \sqrt{4 — x^2} = 0 \)

1. Область определения выражения (ОДЗ):

Корень существует тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно:

\( 4 — x^2 \geq 0 \)

Решим неравенство:

\( x^2 \leq 4 \)

\( -2 \leq x \leq 2 \)

2. Разложим уравнение на множители:

\( \sin 2x = 0 \) или \( \sqrt{4 — x^2} = 0 \)

2.1. Решим уравнение \( \sin 2x = 0 \):

\( \sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

\( x = \frac{\pi n}{2} \)

Подставим в ОДЗ: \( -2 \leq \frac{\pi n}{2} \leq 2 \)

Рассчитаем допустимые значения:

• Для \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \in [-2;2] \)
• Для \( n = 0 \): \( x = 0 \in [-2;2] \)
• Для \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \in [-2;2] \)

2.2. Решим уравнение \( \sqrt{4 — x^2} = 0 \):

\( \sqrt{4 — x^2} = 0 \Rightarrow 4 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)

\( x = -2 \) и \( x = 2 \) удовлетворяют ОДЗ.

3. Ответ:

Полный список решений:

\( x = -2;\; -\frac{\pi}{2};\; 0;\; \frac{\pi}{2};\; 2 \)

б) \( (\cos 2x — 1) \cdot \sqrt{9 — x^2} = 0 \)

1. Область определения:

\( \sqrt{9 — x^2} \) определён при:

\( 9 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3 \)

2. Разложим уравнение на множители:

\( \cos 2x — 1 = 0 \) или \( \sqrt{9 — x^2} = 0 \)

2.1. Решим \( \cos 2x — 1 = 0 \):

\( \cos 2x = 1 \Rightarrow 2x = 2\pi n \Rightarrow x = \pi n \)

Найдём допустимые значения по ОДЗ:

• Для \( n = -1 \): \( x = -\pi \approx -3.14 \notin [-3;3] \)
• Для \( n = 0 \): \( x = 0 \in [-3;3] \)
• Для \( n = 1 \): \( x = \pi \approx 3.14 \notin [-3;3] \)

Оставляем только \( x = 0 \)

2.2. Решим \( \sqrt{9 — x^2} = 0 \):

\( 9 — x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \)

3. Ответ:

Полный список решений:

\( x = -3;\; 0;\; 3 \)

в) \( (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 — x^2} = 0 \)

1. Область определения:

\( 1 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1 \)

2. Разложим уравнение:

\( \cos^2 x — \sin^2 x = 0 \) или \( \sqrt{1 — x^2} = 0 \)

2.1. Решим \( \cos^2 x — \sin^2 x = 0 \):

Это тождественно: \( \cos 2x = 0 \)

\( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \)

Найдём допустимые значения:

• Для \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785 \in [-1;1] \)
• Для \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \in [-1;1] \)

2.2. Решим \( \sqrt{1 — x^2} = 0 \):

\( 1 — x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \)

3. Ответ:

Полный список решений:

\( x = -1;\; -\frac{\pi}{4};\; \frac{\pi}{4};\; 1 \)

г) \( {tg} x \cdot \sqrt{16 — x^2} = 0 \)

1. Область определения:

\( \sqrt{16 — x^2} \) определён при:

\( 16 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 16 \Rightarrow -4 \leq x \leq 4 \)

Функция \( {tg} x \) определена в любой точке, кроме тех, где \( \cos x = 0 \), но это не влияет на ОДЗ корня.

2. Решим уравнение \( {tg} x = 0 \):

\( {tg} x = 0 \Rightarrow x = \pi n \)

Проверим допустимые значения:

• Для \( n = -1 \): \( x = -\pi \approx -3.14 \in [-4;4] \)
• Для \( n = 0 \): \( x = 0 \in [-4;4] \)
• Для \( n = 1 \): \( x = \pi \approx 3.14 \in [-4;4] \)

3. Решим \( \sqrt{16 — x^2} = 0 \):

\( 16 — x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 4 \)

4. Ответ:

Полный список решений:

\( x = -4;\; -\pi;\; 0;\; \pi;\; 4 \)