ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Придумайте три уравнения, равносильные уравнению:

а) $\sqrt{2x-1}=3$;

б) $\cos x=3$;

в) $\lg x^2=4$;

г) $x^{3\mathrm{/}5}=-1$

Придумать три уравнения, равносильных данному уравнению:

а) $\sqrt{2x-1}=3$;
Решения уравнения:

$$2x-1=9;2x=10;x=\frac{10}{2}=5;$$

Равносильные уравнения:

• $5-x=0$
• $x^2-10x+25=0$
• $\frac{20}{x}=4$

б) $\cos x=3$;
Решения уравнения:

$$x\in \mathrm{\varnothing };$$

Равносильные уравнения:

• $e^x=-1$
• $\sqrt{x^2+4}=1$
• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=5$

в) $\lg x^2=4$;
Решения уравнения:

$$2\lg \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=4;\lg \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=2;x=\pm {10}^2=\pm 100;$$

Равносильные уравнения:

• $\mathrm{0,5}{x}^2=5000$
• ${\left(\frac{100}{x}\right)}^2-1=0$
• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{5}=20$

г) $x^{3\mathrm{/}5}=-1$;
Решения уравнения:

$$x\in \mathrm{\varnothing };$$

Равносильные уравнения:

• $x^2-4x+53=0$
• $\sin (3x-5)=7$
• ${\mathrm{tg}}^{2}x+2=\cos x$

а) Уравнение

$$\sqrt{2x-1}=3$$

Шаг 1. Решим исходное уравнение

$$\sqrt{2x-1}=3\Rightarrow 2x-1=9\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$$

Подберем три уравнения, имеющих то же решение:

• $5-x=0$
  Решение: $x=5$
• $x^2-10x+25=0$
  Это полный квадрат: $(x-5{)}^2=0\Rightarrow x=5$
• $\frac{20}{x}=4$
  Решение: $x=5$

Все три уравнения равносильны исходному.

б) Уравнение

$$\cos x=3$$

Анализ

Функция $\cos x$ не может принимать значение 3, так как $\cos x\in [-1,1]$.
Следовательно, решений нет.

Подберем три уравнения, также не имеющих решений:

• $e^x=-1$
  Показательная функция всегда положительна, значит решений нет.
• $\sqrt{x^2+4}=1$
  Левая часть всегда больше либо равна 2. Уравнение не имеет решений.
• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=5$
  Левая часть всегда равна 1. Уравнение не имеет решений.

Все три уравнения равносильны исходному (все не имеют решений).

в) Уравнение

$$\lg x^2=4$$

Решение

$$\lg x^2=2\lg \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=4\Rightarrow \lg \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=2\Rightarrow \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }={10}^2=100\Rightarrow x=\pm 100$$

Подберем три уравнения с теми же корнями:

• $0.5x^2=5000$
  Решение: $x=\pm 100$
• ${\left(\frac{100}{x}\right)}^2-1=0\Rightarrow {\left(\frac{100}{x}\right)}^2=1\Rightarrow x=\pm 100$
• $\frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{5}=20\Rightarrow \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=100\Rightarrow x=\pm 100$

Все три уравнения имеют те же корни, что и исходное.

г) Уравнение

$$x^{3\mathrm{/}5}=-1$$

Анализ

В курсе школьной математики принято, что дробная степень с чётным знаменателем (знаменатель 5 — нечётный, но числитель 3 нечётен, а выражение может быть определено) требует осмотрительности.

Тем не менее, если интерпретировать строго в рамках учебника, указано, что решений нет:

$$x\in \mathrm{\varnothing }$$

Подберем три уравнения, также не имеющих решений:

• $x^2-4x+53=0$

$$D=16-4\cdot 53=-196<0\Rightarrow \text{нет решений}$$

• $\sin (3x-5)=7$
  Значения синуса не выходят за пределы от -1 до 1. Решений нет.
• ${\mathrm{tg}}^{2}x+2=\cos x$
  Левая часть $\ge 2$, правая часть $\in [-1,1]$ ⇒ противоречие ⇒ решений нет.