ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Равносильны ли уравнения:

а)

$$\sqrt{2x^2+2}=\sqrt{x^4+3}\text{и}2x^2+2=x^4+3;$$

б)

$$\sqrt[4]{{\sin }^{2}x+1}=1\text{и}{\sin }^{2}x=0$$

Равносильны ли уравнения:

а)

$$\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3} \quad \text{и} \quad 2x^2 + 2 = x^4 + 3;$$

Первое уравнение имеет смысл при:

$$\begin{cases} 2x^2 + 2 \geq 0 &\Rightarrow x^2 \geq -1 \Rightarrow x \in \mathbb{R}; \\ x^4 + 3 \geq 0 &\Rightarrow x^4 \geq -3. \end{cases}$$

Обе части этого уравнения неотрицательны:

$$\sqrt{2x^2 + 2} \geq 0,\quad \sqrt{x^4 + 3} \geq 0;$$

Возведем обе части во вторую степень и получим:

$$2x^2 + 2 = x^4 + 3;$$

Ответ: да.

б)

$$\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1 \quad \text{и} \quad \sin^2 x = 0;$$

Первое уравнение имеет смысл при:

$$\sin^2 x + 1 \geq 0 \Rightarrow \sin^2 x \geq -1 \Rightarrow x \in \mathbb{R};$$

Обе части уравнения неотрицательны:

$$\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} \geq 0,\quad 1 \geq 0;$$

Возведем обе части в четвёртую степень:

$$\sin^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 0;$$

Ответ: да.

а) Проверим, равносильны ли уравнения:

$$\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3} \quad \text{и} \quad 2x^2 + 2 = x^4 + 3$$

Шаг 1. Область определения (ОДЗ)

Обе части исходного уравнения содержат квадратные корни, следовательно, выражения под корнями должны быть неотрицательны:

1. $2x^2 + 2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq -1 \Rightarrow x \in \mathbb{R}$
2. $x^4 + 3 \geq 0 \Rightarrow x^4 \geq -3 \Rightarrow x \in \mathbb{R}$

Вывод: обе части определены при всех значениях x. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$

Шаг 2. Свойства обеих частей

Так как и левая, и правая части — это квадратные корни из неотрицательных выражений, значит, обе стороны всегда $\geq 0$

Можно без потери решений возвести обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{2x^2 + 2}\right)^2 = \left(\sqrt{x^4 + 3}\right)^2$$ $$2x^2 + 2 = x^4 + 3$$

Полученное уравнение является точно тем, которое дано во второй части.

Шаг 3. Проверка на равносильность

Так как:

• исходное уравнение определено при всех $x \in \mathbb{R}$
• обе части $\geq 0$
• при возведении в квадрат не добавились посторонние корни

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да.

б) Проверим, равносильны ли уравнения:

$$\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1 \quad \text{и} \quad \sin^2 x = 0$$

Шаг 1. Область определения

Уравнение содержит четвёртый корень, а значит выражение под ним должно быть неотрицательным.

$$\sin^2 x + 1 \geq 0$$

Это всегда верно, так как $\sin^2 x \geq 0 \Rightarrow \sin^2 x + 1 \geq 1$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$

Шаг 2. Возведение в четвёртую степень

Левая часть: $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} \geq 0$
Правая часть: 1

Можно возвести обе части в четвёртую степень без потери корней:

$$\left(\sqrt[4]{\sin^2 x + 1}\right)^4 = 1^4$$ $$\sin^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 0$$

Шаг 3. Анализ результата

Получили уравнение $\sin^2 x = 0$, которое эквивалентно $\sin x = 0$, а значит:

$$x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Так как преобразование (возведение в четную степень) не добавило посторонних решений и было выполнено корректно при неотрицательных выражениях, уравнения равносильны.

Ответ: да.