ГДЗ 10-11 Класс Номер 55.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{x^2 + 3x — 1}{x^2 + 1} = 3 \quad \text{и} \quad x^2 + 3x — 1 = 3x^2 + 3;$$

б)

$$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=\mathrm{0,5}\text{и}\sin x+1=\mathrm{0,5}\sin x+1$$

Равносильны ли уравнения:

а)

$$\frac{x^2 + 3x — 1}{x^2 + 1} = 3 \quad \text{и} \quad x^2 + 3x — 1 = 3x^2 + 3;$$

Знаменатель $x^2 + 1$ положителен при любом $x \in \mathbb{R}$, так как:

$$x^2 + 1 > 0 \quad \text{для всех } x;$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$x^2 + 3x — 1 = 3(x^2 + 1);$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 3x — 1 = 3x^2 + 3;$$

Это и есть второе уравнение.

Ответ: да.

б)

$$\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0{,}5 \quad \text{и} \quad \sin x + 1 = 0{,}5 \sin x + 1;$$

Проверим, определено ли первое уравнение:

Знаменатель $\sin x + 2 > 0$, так как $\sin x \geq -1 \Rightarrow \sin x + 2 \geq 1$, то есть:

$$\sin x + 2 > 0 \quad \text{всегда при } x \in \mathbb{R};$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$$\sin x + 1 = 0{,}5(\sin x + 2);$$

Раскроем скобки:

$$\sin x + 1 = 0{,}5 \sin x + 1;$$

Это и есть второе уравнение.

Ответ: да.

а) Проверим равносильность уравнений:

$$\frac{x^2 + 3x — 1}{x^2 + 1} = 3 \quad \text{и} \quad x^2 + 3x — 1 = 3x^2 + 3$$

Шаг 1. Область определения

Проверим, при каких $x$ первое уравнение определено:

• Знаменатель: $x^2 + 1$
• Так как $x^2 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то:

  $$x^2 + 1 \geq 1 > 0 \Rightarrow \text{деление допустимо при всех } x \in \mathbb{R}$$

Шаг 2. Умножим обе части на знаменатель

Так как $x^2 + 1 > 0$, умножение не нарушает равносильности:

$$x^2 + 3x — 1 = 3(x^2 + 1)$$

Шаг 3. Раскроем скобки справа

$$x^2 + 3x — 1 = 3x^2 + 3$$

Это и есть второе уравнение. Мы его получили строго из первого.

Шаг 4. Совпадают ли множества решений?

Так как все преобразования были эквивалентными (не теряли корней, не вносили посторонние), множества решений совпадают.

Вывод: уравнения равносильны.

Ответ: да.

б) Проверим равносильность уравнений:

$$\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0{,}5 \quad \text{и} \quad \sin x + 1 = 0{,}5 \sin x + 1$$

Шаг 1. Область определения

Проверим, при каких $x$ первое уравнение определено:

• Знаменатель: $\sin x + 2$
• Так как $\sin x \in [-1;\ 1]$, то:

  $$\sin x + 2 \in [1;\ 3] \Rightarrow \sin x + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Значит, дробь определена при всех $x$.

Шаг 2. Умножим обе части на знаменатель

Так как знаменатель положителен, умножение не нарушает равносильности:

$$\sin x + 1 = 0{,}5(\sin x + 2)$$

Шаг 3. Раскроем скобки справа

$$\sin x + 1 = 0{,}5 \sin x + 1$$

Это и есть второе уравнение.

Шаг 4. Совпадают ли множества решений?

Мы перешли от одного уравнения к другому через равносильные преобразования, не ограничив область определения и не потеряв решений.

Вывод: уравнения равносильны.

Ответ: да.